基于改进的社会力模型对相向运动人群流中自组织现象的模拟

邓宇菁，胡列格，冯页新

（1.湖南警察学院交通管理系，长沙 410138；2.长沙理工大学交通运输工程学院，长沙 410138；3.湖南大学物理与微电子科学学院，长沙 410138）

0 引言

在社会动力学（Social Dynamics）研究中，对人群集体运动行为进行理论研究及计算模拟是近年来的研究热点之一[1]，该类研究在应用和理论领域都有着重要意义[2-4]。随着人类社会的高速发展、城市化过程的不断增速，对人群集体运动的规律进行研究在市政和交通设施的建设、危机情况处理、城市交通规划等领域发挥着更加重要的作用[1-8]。另外，对人群集体运动行为进行理论研究和计算模拟也一直是基础研究中的难点课题之一。

近年来，理论研究发现当人群大量聚集，密度达到临界值后，行人之间的相互作用发挥了重要影响，而这种作用力往往会引发很多自组织现象发生。同时，研究表明类似行为并不是人群运动中的独有现象。在众多的自驱动颗粒的集体运动中都会出现类似自组织现象。研究者们对人群运动中的自组织行为进行研究已有近半世纪的历史。早期的此类研究主要以实验观测为主；而随着研究的不断深入和高性能计算机的高速发展，理论研究特别是计算模拟起到愈来愈重要的作用。而近期，由于各种新方法的发展和计算能力的快速提高，这类自组织现象吸引了人们更多的研究兴趣。在这些新方法中，Helbing等人发展的社会力模型[9,10]，正是最流行的一种人群运动模型。社会力模型已经成功预测出很多人群集体运动中出现的独特模式和行为（例如人群疏散中的阻塞效应，快即是慢现象）[9-14]。而自从社会力模型被人们广泛应用，就不断有研究者们对它进行改进、修正和进一步发展[15-22]。其中，笔者和合作者们在近些年发现行人的心理因素和行人运动的随机性对人群的运动发挥着重要的影响[21]。因此，我们基于传统的社会力模型，在其基础上引入两个变量：焦虑因子和随机因子，并构建了改进的社会力模型。我们发现该模型可以准确地描述人们的心理因素和随机行为对人群集体运动的影响，从而能够更加准确地模拟人群的疏散行为。

在本文中，我们基于上述改进的社会力模型，对人群相向运动时的自组织行为开展了计算模拟研究，重点关注该过程中的行道形成现象（Lane Formation）。我们成功地在计算模拟中再现了现实生活中观察到的人群分流现象，并对该现象的实时过程进行了细致的模拟。我们的模拟结果表明，在特定情况下，人群相向而行30秒后会出现人群分流的迹象，而在200秒后可以达到稳定的集体运动模式。同时，我们对人行道的宽度、人群密度对该自组织现象的影响进行了分析。计算结果表明当人行道宽度增加时，会出现多组相对运动的人流，而人群密度增加时，则需要经过更长的时间人群才能达到稳定的集体运动模式。我们的研究可以帮助研究者们更好地理解人群集体运动中的自组织现象和集体行为，对道路交通设置的设计、建设有积极的作用。

1 计算方法：改进的社会力模型

传统的社会力模型的主要思想是采用类似于牛顿方程的动力学方程描述人群的集体运动行为[9,0]：

该公式中，mi代表行人质量，vi代表行人的速度矢量，行人沿着单位矢量的方向具有大小为的期望速度（Desired Velocity），该期望速度的数值存在上限vmax，τi表示行人速度变化的响应时间，我们用描述行人在运动过程中受到的作用力。

这里，fij描述不同行人之间的作用力，具有下列形式:

其中，Aiexp[rij-dij]/Bi代表行人间的排斥相互作用（由行人的社会性决定），Ai和Bi是常数，我们在这里用kg(rij-dij)来描述行人间的排斥相互作用，而用来表示行人间的摩擦作用力。

另外，fiW表示行人与边界间的相互作用,形式和fij相似：

在本文中，我们在改进的社会力模型中额外引入了行人运动的随机性。因此，我们在标准的社会力模型中引入一个新的参数：随机因子。

具体来说，行人的运动有别于普通的物质颗粒。无生命颗粒的运动是机械式和决定性的；而行人的运动具有一定的随机性和不确定性。因此，我们在社会力模型中考虑随机因子trandom对行人运动的影响。行人下一步的速度并非由动力学方程完全决定，具体来说，我们在决定期望运动方向的单位矢量e0i(t)上引入随机性的影响。因此，修正后的单位矢量表示成下列形式：

其中，erandom是单位矢量，它的方向是随机决定的；trandom是随机因子，无量纲，它决定随机行为所占的比重。在本文中，我们采用的随机因子范围是[0,1]；e0i(t)'是修正后的单位矢量，它表示经过修正后的期望运动的方向。

2 模拟结果分析

随着人类社会的发展和城市化进程的推进，在大城市中常常会出现人群聚集的现象。如果我们稍加留意，就会发现很多人群集体运动的自组织现象。如图1所示，相向运动的人流会自发形成“Lane Formation”，这就是人群集体运动中自组织现象的典型代表。为了研究人群中的这类自发行为，研究者们借助不同的计算模拟（包括社会力模型、元胞自动机模型、流体动力学模型，等等）进行了大量的研究。

图1 对向运动的人群中的行道形成（Lane Formation）现象（a）低人群密度情况；（b）高人群密度情况

最近，我们采用改进的社会力模型成功研究了人群的集体疏散行为。我们的计算结果总结在图2（a）中，如图所示，我们考虑一个尺寸为15m×15m的房间，房门宽度是1.2m。行人的质量分布于[70kg,90kg]的范围内，行人半径ri则在[0.35m,0.45m]范围内平均分布。计算中的其他参数总结如下：τi=0.5s，vmax=7m/s，κ=2.4×105kg s-1，k=1.2×105kg s-1，Ai=2×103N，Bi=0.08m，行人的最大速度被限制在10m/s以内。人群疏散是一个典型的人群集体运动问题。我们基于改进的社会力模型对人群疏散行为进行了计算模拟。模拟结果显示，在行人密度较大、行人间距离较小的恐慌性、竞争性疏散模式下，心理因素和随机因素对人群的运动行为有明显的影响。在疏散过程中，行人一定程度的心理焦虑会提高人群的疏散效率；但过高的焦虑程度则不利于人群的快速疏散。另外，行人运动的随机性也会明显缩短人群疏散时间；但是随机因子的具体数值在一定范围内并不会明显影响行人的疏散效率。

图2 （a）人群在尺寸为15m×15m的房间内疏散的模拟结果呈现出典型的阻塞现象;（b）相向运动的人群表现出典型的行道形成现象

在本文中，我们采用同样的模型，对相向运动人群中的行道形成现象进行系统研究。如图2（b）所示，我们首先考虑人行道总宽度为5m，人群密度为1人/m2，行人运动平均速度为1m/s，分别向左右运动的行人数目相等（分别用五星和圆球表示）。模型的左右边界我们采用周期性边界条件进行模拟，以保持人流的稳定运动。由模拟结果我们可以看到，在模拟时间达到200s后，相向运动的人群自发形成了各自的行道，成功再现了现实中观察到的Lane Formation现象。

图3中展示了行道形成现象的实时分析。从图3（a）到图2（d），模拟时间分别从 10s增加到 200s。基于计算机模拟结果，我们发现模拟时间为10s时，人群的分布呈现随机特性，并没有人群分流迹象的出现。而随着时间的推移，当模拟时间达到30s至80s时，出现了自发行道形成的初步形态。而当模拟时间达到200s时，人群运动形成了稳定的相互分开的行道。更长时间的模拟结果和图3（d）中显示的模式保持一致。

图3 行道形成现象的实时分析

图4 更宽的人行道中行道形成现象的实时分析

为了更好地理解人群集体运动中的行道形成现象，我们继续研究了人行道宽度和人群密度对该自组织行为的影响。如图4所示，当人行道宽度增加到20m，而人群密度保持不变时，人群自发形成行道分离的行为与上文的结果类似。当模拟时间达到80s时，出现行道形成的初步迹象。而当时间达到200s时，人群形成了稳定的分离行道。

另外，人群的密度会对人群运动产生更重要的影响。如图5所示，人群密度达到2人/m2时，计算模拟中需要更长的时间，人群中才会形成稳定的分离行道。计算结果表明当模拟时间到达200s时，初步的行道分离迹象出现（图5（a））。而时间达到1000s以上时，稳定的运动模式才会出现（图5（b））。因此，我们发现与人行道宽度相比，人流的密度是影响相向人群自组织行为更加重要的因素。

图5 更密集人群中行道形成现象的实时分析

3 结语

综上所述，本文在社会力模型的基础上，考虑了行人运动时的随机特性对人群运动的影响，并对社会力模型进行了修正。采用改进后的社会力模型，我们对人群集体运动中的自组织现象进行研究，重点关注相向运动的人群中的行道形成现象。通过模拟，我们再现了现实生活中发现的人群疏散过程中的阻塞效应，以及人群对向运动时的行道形成现象。通过研究不同时间节点下的人群分别情况，我们对行道形成的实时行为进行了研究分析。此外，我们详细研究了人行道的宽度和人群密度对人群自组织行为的影响。计算模拟表面，人行道宽度不会显著影响行道形成的过程，说明该过程表现出一定的局域特性。而人群密度的增加会减慢行道形成过程的完成。综上，我们的计算模拟结果可以帮助研究者们更深入地理解人群运动中的自组织现象，为交通设施的设计和建设提供理论依据。