对一道向量数量积模考题的解题思考

漆昭睿

最近在一次模考中遇到如下一道关于向量数量积的题目：

对于这道题，一开始我和班上很多第一次做对的同学一样，是通过巧取特殊位置“猜”对的，考试过后，我对这道题又作了进一步的探讨，获得了一些思考，撰文展示，期望能带给大家一些启发，

一、小题巧猜——数学美感助解题

二、小题大做——坐标刻画析变化

三、理解本质——“相对运动”来转化

因为点P到直线l的距离为3，由运动的相对性，若把AB看作一条定线段，则P可以看作是距离AB为3的一条平行线上的动点，这样，就把原题中的“定点动线段”问题等价转化为“动点定线段”问题.

解 以AB所在直线为z轴，线段AB的中垂线为y轴建立如图3所示的平面直角坐标系，则由AB =4，知A（-2，0），B（2，O）.

所以，点P可视为在直线y=3上运动，可设P（t，3）.

反思 同样是刻画运动，由于前一解法需要刻画两个点，变量太多，虽然可以通过已知条件寻找变量之间的联系，从而减少变量个数，但运算并不简单，考试过程中会增加出错的风险；而注意到运动是相对的，将原过程看成P点相对于线段AB的运动，问题就变得异常简单，达到事半功倍的效果.

四、实现转化——巧用基底妙解题

我的几点思考：

1.数学学习需要时常用心去感受数学的美

我发现很多数学问题是优美的：简洁美、对称美、逻辑美、思想美……数学因为有了这些而不再枯燥乏味，不再是长篇的定理公式的累积，而是一种美的积淀.所以我在平时的学习中比较乐于去发现数学的美、去积累数学的巧，勤总结、善梳理，收获非常大.

2.数学学习需要琢磨透问题的本质

考试时，我第一时间做对了这道题，但由于当時只是在考试状态下为了节省考试时间凭着一种“数感”“猜”对了，对问题的本质并没有琢磨透，如果就此放下，将会丧失很多让自己提高的机会.因此，考后的进一步探索和反思就显得尤为重要了！

3.注重变量数学的学习与体会

我们所学的高中数学以变量数学为主，如函数、导数、向量、解析几何等.这些内容所涉及的题型灵活多变，蕴含的思想方法多，是高考的重点，也是我平时专注的几个点.它们之间有着紧密的联系，研究的主要内容都是运用变量刻画运动、描述变化，因此在平时学习中我会注意运动变化的本质、引起运动变化的因素，从而恰当地选取变量来刻画运动、描述变化，从而打开思路，

总之，高中数学的学习既要培养“数学的美感”，更要体会数学问题的本质，善于运用变量刻画运动、描述变化，注重各部分数学知识之间的内在联系，学会灵活转化，若能长期坚持，我相信我们学好数学并不难！