掀起“隐含条件”的盖头来

刘新春

许多数学问题常常因为发现不了隐含条件而无法求解或方法繁复，耗时太多.如能将题目中的各个条件用几何化、图表化、代数化、模式化、结论化的形式相互转化，往往能发现隐含条件，找到解题思路.下面以解析几何问题为例说明如何发现隐含条件.

一、数形结合，巧妙转化

比较上述两种解法可知，只有抓住题目中两个条件的本质属性——几何特征——两直线关于原点对称这一隐含条件，并用最简单的数量关系表示，才能快捷地获得简单的解题方法和简明的解题过程.

二、变换图形，发现性质

例2 在平面直角坐标是xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点0对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-（1/3）.

（l）求动点P的轨迹方程；

（2）设直线AP与BP分别与直线x=3交于点M与点N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

在上述几种表征形式中，表征（l）抓住图形中三角形的边的特征给出数量关系，最接近题中原始条件，也最容易想到，但计算M，N两点的纵坐标步骤较繁，运算过程也非常复杂；表征（2）抓住了∠APB =∠MPN这一条件，从角的特征出发，把面积相等表征为三角形边长的乘积关系，再运用线段在同一条直线上的射影的比值相等，因而思路巧，方法简，运算少；表征⑶与表征⑴类似；表征（4）抓住图形的整体特征，充分运用B点是AD的中点条件，从两个三角形的面积相等关系挖掘出P点为△ADN的重心这一隐含条件，题目中条件的本质属性更加凸显.

三、特殊引路，直觉猜想

例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x²+y²=4，F（O，2），点A，B是圓O上的动点，且FA·FB =4，是否存在与动直线AB恒相切的定圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.

分析 直觉告诉我们，若定圆存在，应与圆心O或定点F有关.因为A，B是动点，若取FA =l，FB=4，可知∠FAB=90。.点F到AB的距离为1，点O到AB的距离为1/2（中位线）.再令FA =FB =2，可算得点F和点O到AB的距离均为1.合情猜想，点F到AB的距离为定值1.换句话说，AB与以点F为圆心，1为半径的圆相切.这就是本题中的核心隐含条件.如何证明？联想FA.FB=4、三角形的面积公式、余弦定理等条件可得以下证明：

作FH⊥AB于点H，连结OA，OB.设△ABF的面积为S.

本题的求解思路其关键是通过直觉判断、特殊引路、合情猜想、推理论证等环节发现并证明隐含条件“定点到直线的距离为定值1”.可从上述探究过程中体会如何探索几何图形的本质特征.

四、抓住“有界”，化隐为显

在求解解析几何问题时，经常会运用图形特征中的限制条件，如圆上两点的距离范围，椭圆、双曲线、抛物线上点的坐标的限制条件，求离心率或其他参数的范围等问题.解析几何问题中的隐含条件首先是图形中隐含的几何特征，抓住最本质的几何特征，就能发现隐含条件.其次是寻找同一个几何特征的不同数量关系，有些是显而易见的，有些是深藏不露的，需要我们去发现.