Gronwall不等式的教学探讨

章毛峰��

摘 要：Gronwall不等式是数学中的重要不等式之一，它在数学、控制理论等领域有很多应用。为了帮助学生理解并应用此不等式，本文给出三种条件变形的此不等式的简洁证明，并给出了应用例子。

关键词：Gronwall不等式；Lipschitz条件；BellmanGronwall不等式

一、 背景介绍

Gronwall不等式是英国数学家Gronwall于1919年提出的，Bellman进行了推广，之后很多学者对此不等式进行研究。其各种形式的推广，丰富了不等式内容。Gronwall不等式在控制理论、常微分方程和积分方程性质等领域有很多应用。此不等式的证明极少见诸教材，而有些虽有证明，却相当粗糙、不严密。为了帮助学生理解Gronwall不等式，提高教学效果，本文将给出理论证明及应用例子。

二、 定理1（Gronwall不等式）

设a是非负常数，u（·）和v（·）都是区间[t0，T]上的连续且非负函数，若有以下不等式成立u（t）≤a+∫tt0v（s）u（s）ds，t∈[t0，T]，

则u（t）≤aexp∫tt0v（s）ds，t∈[t0，T]。 （1）

证明：先令a>0，w（t）=a+∫tt0v（s）u（s）ds，t≥t0，

则w（t）>0，w（t）≥u（t），w′（t）=v（t）u（t）≤w（t）v（t），

w′（t）w（t）≤v（t）， （2）

不等式两边积分得，则w（t）≤aexp∫tt0v（s）dsu（t）≤w（t）≤aexp∫tt0v（s）ds。

若a=0，可用ε>0代替a，则有不等式u（t）≤εexp∫tt0v（s）ds成立，于是我们可得u（t）≤0，（1）亦成立。证毕。

若定理1中的条件范围扩大，a为常数，u（·）和v（·）的取值区间改为[t0，+∞），u（·）非负这个条件也去掉，上述定理1是否仍成立？我们有以下定理2。由于条件的改变，定理1中证明过程中的（2）式不成立，上述证明方法不再适用，下面给出另一种证法。

三、 定理2（Gronwall不等式）

设a是常数，u（·）和v（·）都是区间[t0，+∞）上的实函数，v（t）≥0，且满足不等式u（t）≤a+∫tt0v（s）u（s）ds，则以下不等式成立u（t）≤aexp∫tt0v（s）ds，t∈[t0，T]。

证明：令w（t）=a+∫tt0v（s）u（s）ds，t≥t0，

上式两边对t求导得dw（t）dt=v（t）u（t）≤v（t）w（t），t≥t0，

则d[e-∫tt0v（s）dsw（t）]dt=e-∫tt0v（s）dsdw（t）dt-v（t）w（t）≤0。

两边从t0到t积分，并利用分部积分公式可得e-∫tt0v（s）dsw（t）-w（t0）≤0，

所以我们有u（t）≤w（t）≤ae∫tt0v（s）ds。证毕。

若定理1中的条件改变，常数a变为函数，v（·）变为非负常数，结论是否仍成立？由于条件的改变，定理1的证明方法亦不再适用，下面给出另一种证法。

四、 定理3（BellmanGronwall不等式）

设f（·）是区间[a，b]上的非负可积函数，β为非负常数，且满足不等式f（t）≤g（t）+β∫taf（s）ds，t∈[a，b]，则以下不等式成立f（t）≤g（t）+β∫tag（s）eβ（t-s）ds。

特别地，当g（t）=C（C为常数），则f（t）≤Ceβ（t-a）。

证明：令z（t）=β∫taf（s）ds，则有z′（t）=βf（t）≤βg（t）+βz（t），整理得z′（t）-βz（t）≤βg（t），

则ddt[e-βtz（t）]=e-βt（z′（t）-βz（t））≤βg（t）e-βt，

不等式两边在区间[a，t]积分得e-βtz（t）≤β∫tag（s）e-βsds，

所以z（t）≤β∫tag（s）eβ（t-s）ds，

故f（t）≤g（t）+β∫tag（s）eβ（t-s）ds。证毕。

五、 Gronwall不等式的应用

例（方程解的唯一性） 设α（t），ψ（t）是积分方程y=y0+∫xx0f（x，y）dx，x0≤x≤x0+h上的连续解，其中 f（x，y）满足Lipschitz条件，L>0是Lipschitz常数，则α（t）=ψ（t）。

证明：由題意设α（t），ψ（t）是方程的连续解，

∴ψ（t）-α（t）=∫tt0f（ξ，ψ（ξ））dξ-∫tt0f（ξ，α（ξ））dξ，

则|ψ（t）-α（t）|≤∫tt0|f（ξ，ψ（ξ））-f（ξ，α（ξ））|dξ≤L∫tt0ψ（t）-α（t），

由Gronwall不等式，∴|ψ（ξ）-α（ζ）|≤0exp∫tt0Ldζ=0，

∴α（t）=ψ（t），命题得证。

六、 结束语

Gronwall不等式在控制论及方程理论中应用很多，特别是能够简化方程解的唯一性证明。利用该定理证明各类方程解的唯一性，思路清晰，学生易于理解，过程也比较简单。

参考文献：

[1]Gronwall T H. Note on the derivatives with respect to a parameter of the solution sofa system of differential equations[J]. Ann Math，1919（20）：292-296.

[2]Bellman R. The stability of solution of linear differential equations[J]. Duke Math J，1943（10）：643-647.

[3]Xuerong Mao. Stochastic Differential Equations and Applications（Second Edition）[M]. Horwood Publishing Limited，2007.

[4]孙莉.关于Gronwall不等式证明的注记[J].高等数学研究，2007，10（1）：69-71.

[5]李杰民.关于随机Gronwall不等式的一点注记[N].湛江师范学院学报，2013，34（6）：19-21.

[6]许佳，钟守铭.Gronwall不等式的推广及其在分数阶微分方程中的应用[N].西华大学学报（自然科学版），2012，31（5）：62-64.

作者简介：

章毛峰，中教一级，安徽省六安市，安徽省六安市金安区兴隆路清水河学校。