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用类比、分类、转化“唱响”轴对称

2018-11-16姜鸿雁

初中生世界·八年级 2018年10期
关键词:顶角唱响平分线

姜鸿雁

众所周知,初中阶段共学习三大基本图形变换,分别是平移、翻折(轴对称)、旋转.翻折是继平移后的第二大图形变换,如何学好这部分内容呢?本文从以下三个方面与同学们聊聊,相信你们定有收获!

一、从类比的角度学习

在类比旧知识的过程中学习新内容,有利于形成整体观,会使学习过程更轻松.

二、用分类的视角思考

本章图形因轴对称的特殊性,使符合题意的图形相关元素之间的数量关系相对复杂,位置关系也常不确定,用分类讨论的视角思考,是确保解题结果不重复、不遗漏的“法宝”.

【例1】如图1,线段AB与直线l相交于点A,在直线l上确定点C,使△ABC是等腰三角形(画出所有符合题意的点C).

【分析】等腰三角形只有两个顶点确定,则腰和底边均无法确定,故要分类讨论.科学的分类依据是确保结果不重复、不遗漏的关键.本题研究对象是等腰三角形的顶点,分类依据考虑顶角顶点为上策.当点A为顶角顶点时,则有AB=AC,以点A为圆心、AB长为半径的圆与直线l的交点即为点C;同理,当点B为顶角顶点时,以点B为圆心、BA长为半径的圆与直线l的交点即为点C;当点C为顶角顶点时,线段AB的垂直平分线与直线l的交点即为点C.所以符合题意的点C共有四个(如图2).为便于理解与记忆,可以把图2简称为“两圆一线”,为日后解决更为复杂的与等腰三角形相关的问题做好铺垫.

三、以转化的思想求解

化难为易、化陌生为熟悉……这些都是转化思想的魅力,是解决问题的有力保障.由于轴对称(图形)、等腰(边)三角形的各条性质,注定本章与全等三角形有紧密联系,这在解决问题过程中,为转化线段或角提供了“资源”.用好这些“资源”,可以轻松解决问题.

【例2】如图3,△ACD、△BCE是等边三角形,且A、C、B共线,AE、BD相交于点O,连接OC.求证:OC平分∠AOB.

【分析】由△ACD、△BCE是等边三角形,不难得到△ACE≌△DCB.这一对全等三角形的作用何在?似乎与要证的∠AOC=∠BOC相距甚远,而∠AOC与∠BOC所在三角形显然不全等,所以转化成为必然.关于角平分线,本章学过它的判定定理:角的内部到角两邊距离相等的点,在这个角的平分线上,由此可以转化为证明点C到OA、OB的距离相等(如图4,即证CM=CN).如何证CM=CN?由△ACE≌△DCB可得:AE=BD、S△ACE=S△DCB,两个等底等面积的三角形必定等高,所以CM=CN.

简证:作CM⊥OA于M、CN⊥OB于N.

易得:△ACE≌△DCB,所以AE=BD,S△ACE=S△DCB .又因为CM⊥AE,CN⊥BD,所以CM=CN,故OC平分∠AOB.

延伸:若A、C、B三点不共线,其他条件不变,结论还成立吗?(因“不共线”对证明过程没有影响,所以方法不变,结论不变.)

总之,熟练掌握所学定理,是实现“转化”的前提.图3是本章的基本图形之一,证明OC平分∠AOB并不容易,利用角平分线判定定理实现转化是关键.本章基本图形和常用辅助线还有很多,我们只要对新知识及时巩固,并注意与旧知识之间的融会贯通,数学学习就能走上“快车道”了.

(作者单位:江苏省无锡市河埒中学)

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