高中数学导数思想研究不等式问题

赵明浩 牟文君

摘要：伴随着素质教育的不断推进，高考题目的灵活性更强，其涉及的知识面更为广泛，将不同数学思想予以融合已经成为高考数学考试的趋势，其中，合理利用导数思想解答不等式问题较为关键，各地高考数学中都会出现不等式的题目，这就需要教师对具体教学流程予以分析，给予学生更加有效的教学指导。本文简要分析了不等式高考数学考点，并对具体的应用路径展开讨论，仅供参考。

关键词：高中数学；导数思想；不等式

在高中数学教学中，不等式考点分析十分关键，借助导数思想对具体问题进行分析的过程中，要从多角度建立相应的分析框架，保证知识点分析效果较好。

一、 不等式高考考点分析

在高考数学试卷中，不等式一直就是较为重要的考点，学生只有充分掌握不等式的学习要点，才能有效梳理题目解答的过程，从根本上提高高考数学的成绩。

近几年，高考数学中关于不等式的题目主要分为四类，第一类，性质判断类题目和具体应用。第二类，不等式求解。第三类，不等式证明。第四类，不等式应用，都需要将不等式内容的基础和理论依据作为解题关键。尤其是在不等式证明中，利用导数思想进行题目求解较为关键，基于此，教师要引导学生将导数作为研究工具，结合不等式基本性质完成题目。

二、 高中数学导数思想研究不等式的基本流程

在高中数学中，学生要掌握导数的应用方式，充分发挥导数作为数学解题工具的优势，合理证明相关题目，并且构建完整的函数关系，有效研究函数的单调性，从而快速解决不等式的问题。

第一，要建构新的函数关系，结合题目中相关数据信息，完善题目解答思路，并且构造F（x）函数。

第二，学生要借助导数对其单调区间进行分析，合理判定函数的关系，从而将单调性基本性质应用在题目解答中，不仅能提高题目解答的效率，也能一定程度上提高解答准确性，确保后续讨论过程能满足实际关系。也就是说，学生在构造函数F（x）后，就要对函数的单调性和区间予以判定。

第三，要对定义域予以分析，合理判定F（x）和0之间的关系，确保能有序开展不等式证明，完善数據分析效果和判定结构，确保能在优化定义域的基础上得出最终的答案。

三、 高中数学导数思想研究不等式的具体应用

在掌握了基础性解答流程后，在实际计算过程中，就要结合题目的基本信息和要点，按照标准化要求对题目中的关系进行梳理，确保能第一时间找到解题要点，从而形成良好的解题思路，确保答案的准确性。

【例1】已知f（x）=alnxx+1+bx，在点（1，f（1））外的切线方程为x+2y-3=0，

（1）求a和b的值；

（2）对任意x>0，且x≠1，则f（x）>lnxx-1+kx恒成立，解实数k的取值范围。

解析：本文主要讲解导数思想下研究不等式，故a和b求解不过于赘述，a、b均为1。将a、b代入到函数中得出f（x）=lnxx+1+1x，因此，对函数进行转变可得出f（x）-lnxx-1+kx=11-x22lnx+（k-1）（x2-1）x，假设函数h（x）为2lnx+（k-1）（x2-1）x，其中x大于零，则能判定出h′（x）=（k-1）（x2+1）+2xx2就能对k的具体数值进行分类讨论。

反思：结合本题目能对相关数据和信息进行分析判定，在构建新函数的过程中，要结合题目中的具体要求，并且巧妙应用导数的运算过程和基本运算法则，在及时观察的基础上，构造更加贴合题目要求的函数关系，确保能直观判定出函数的单调性，为不等式证明过程的优化奠定基础。

【例2】定义在区间x∈0，π2上的函数f（x）使不等式f′（x）cosx+f（x）sinx>0恒成立，其中f′（x）是f（x）的导数。求证：f（0）<2f-π4。

解析：这是一道较为典型的证明题，结合相关信息证明不等式。

首先，因为函数y=f（x）任意x满足x∈0，π2且符合f′（x）cosx+f（x）sinx>0，所以，可以假设为f′（x）cosx+f（x）sinx=f′（x）cosx-f（x）（cosx）′，就能构造出符合题目要求的函数为g（x）=f（x）cosx，且函数满足x∈0，π2，能得出g′（x）=f′（x）cosx+f（x）sinxcos2x>0，需要注意的是，此时的g（x）=f（x）cosx在区间内为单调递增情况，则能判定出g（x）=f（x）cosx为偶函数，将数值代入后就能得出：g-π4=gπ4=2fπ4=2f-π4>g（0）=f（0），则能证明题目中要求的f（0）<2f-π4。

反思：结合题目不难发现，要想合理解答导数证明不等式的题目，就要对新函数构造过程予以分析，确保相应数据判定过程的有效性，能够结合具体数值对区间内单调性予以判定，合理分析基础数据之间的关系，最终对相关不等式进行集中证明和分析。另外，教师要想引导学生顺利解答相应的证明题目，不仅仅要引导学生建立思维关系，也要确保学生能在很多数据和信息中搜索出更加具有导数普适性的关键点，以保证解题效果符合要求。

【例3】已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），其中，b>a>0，若y=f（x）有两个极值点s、t，s

解析：在对函数不等式进行分析和判定的过程中，要将求解的方程或者是不等式设定为新函数，从而完成一阶导数分析。对导数进行求解后发现，f′（x）=3x2-2（a+b）x+ab，若是导数上取得极值，则证明f′（x）在x=s，x=t上均存在零点，若是f′（s）=f′（t）=0，且f′（0）=ab>0则意味着整个函数在（-∞，0）区间内呈现出单调递减的情况，而在（b，∞）区间内单调递增，那么就有一点使得f′（x）=0，加之f′（a）<0，f′（b）>0则在a，b区间内存在f′（x）=0，且抛物线就存在两个根，可证明0

反思：本题对于单调性的应用较多，要在构造函数的基础上对单调性予以分析和判定，需要教师结合题目对学生应用知识的能力予以判定，合理性优化相关参数结构后，对目标函数的单调性进行梳理，从而证明题目中的关系。

四、 结束语

总而言之，在对高中数学导数思想进行分析和讲解的过程中，教师要引导学生发散思维，有效落实系统化教学结构和教学机制，保证学生和教师之间能形成有效的互动，指导学生更好地完成不等式内容的学习，能灵活应用相关知识。教师要结合高考中的相关考试要点，开展模块化复习指导，提高学生对知识内容的内化能力，解决具体问题的基础上，顺利迎接高考并且取得好成绩。

参考文献：

[1]李震南.函数凸凹性与琴生不等式在导数问题中的应用[J].中国校外教育（中旬刊），2017（9）：45-46.

[2]张秀梅.导数在高中数学题目解答中的典型性应用研究[J].新教育时代电子杂志（学生版），2015（10）：127.

[3]许雪丽.例析高中数学中导数的典型性应用[J].高中数理化，2015（2）：17.

作者简介：

赵明浩，牟文君，重庆市，重庆市杨家坪中学。