巧解东风云水意，踏星掬月近天涯

袁一丹

摘 要：立足于高中学生数学核心素养的培养及函数模块数学题的解题研究，提出了从数、形的角度提取信息并确立适切的数学对象，通过探索数学对象与数学问题的目标之间的联系而解决数学问题这样一个层层深入并能达成深化认识、拓展新知的数学问题解构过程。通过此类函数题解构方法，对处理函数高考题中数学对象确立产生的一题多解、沟通数学对象与问题目标之间的联系进行了一题多变的案例研究。

关键词：高中数学；函数题；解构

一、选题背景

（一）函数处在高中数学核心地位

函数知识贯穿高中数学，与数列、解析几何等知识紧密联系，是高中数学的核心内容，也是历年浙江省高考的重难点（近三年纯粹函数考题的统计见下表，不含其他知识背景考查函数题）。学好函数是学好高中数学的关键，同时是深入研究数学甚至是其他学科的基础。

（二）数学对象确立的适切性是数学解题的关键点

数学解题结构的过程一般可分四环节：定义概念→探究性质→建立联系→实践应用。详细的，首先从数、形的角度提取信息并确立数学对象，然后探索数学对象的要素与要素、要素与环境等之间的关系和相互作用而探究出性质，再建立相关知识的数学联系形成一个知识体系，最后应用所生成的新的知识体系来解决数学问题。这样形成一个螺旋上升、层层深入并能达成深化认识、拓展新知的数学问题解构过程，而其中数学对象确立的适切性是数学问题解构的关键点。

【案例1】（2008年浙江理15）

已知t为常数。函数y=|x2-2x-t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t= .

点析：此题难点是参数t的认识和处理。若通过分析解构出数学对象来开展解题的路径，如确立数学对象为函数y=x2-2x，然后探究y=x2-2x的图象与函数y=x2-2x-t的图象及y=|x2-2x-t|的图象的关系，再建立直观的数学联系，结合图象解决问题。本题本质的解构方法在于能否把问题转化为一个确定函数图象的平移和翻折变换到某一特定位置。

（三）高中生之于数学解题的思维盲点

高中数学语言相比初中数学抽象程度突增，知识内容整体数量巨增，思维方法更具严谨性和推理性，对综合分析能力较弱的学生易产生学困点，解题时更会出现思维盲点。如何从抽象的数学内容中提取出适切的数学对象？如何把抽象的数学对象转化得直观而易于探究？这是我们数学解题研究一个努力的方向。

点析：此题难点在于题设信息怎么提取转化，選项信息与题设信息之间的联系是什么？根据题设信息已知函数f（x）的定义域，根据选项信息可选择用换元法求f（x）的解析式，这一步骤是可操作的。但是筛选出正确选项的依据是什么？关注到题设信息“函数”，可追问求出来的关系式是“函数的表示形式”吗？这一抽象思维过程是难点。因此此题的思维盲点在于我们想要了解的数学对象是什么，如果能确立数学对象为函数的解析式，结合对函数定义的考量，此题即破。

基于上述三个方面的教学实际需求，本文拟通过研究高中函数模块中解题的教学实践，归纳总结出以确立适切的数学对象是数学问题解构的关键环节，并以案例的形式确立数学对象来解题。

二、实践尝试

（一）基于函数模块的数学对象的分类

1.理论基础

（1）数学的语言功能

数学是具有独特的符号系统和严谨的表达方式的一门语言。数学解题可以看成是运用数学语言进行数学阅读、表达和交流的过程，也是培养学习者学会思考、学会逻辑思考、创造性思考，从而达成认识问题、解决问题的微实践。

（2）数学的核心素养

认识数学问题的观点越高，数学问题越简单、朴素、自然，越透彻。高观点的核心要素就是需要具备良好的知识结构和广泛的知识面，同时能够用最朴素的思想去推动数学问题解决的整个思维过程。在函数模块对运用函数的观点和运动变化的观点进行深度思考，抽象出适切的数学对象，以此数学对象为核心，通过数学运算与直观想象及数据分析探寻数学对象与待求数学问题目标之间的数学联系，进行精准的数学运算和逻辑推理，达成解决问题的目的。

普高数学新课程标准提出学生数学学习的六大核心素养：

在解决数学问题的过程中可以很好地锻炼学生抽象、建模、数据分析、运算等核心素养，不仅解决了数学问题，还“繁殖”出数学素养的“蘑菇群”。通过多年数学解题策略的研究，本人认为函数模块中可以从题设中提取出问题解决的核心点——数学对象，并以此数学对象为核心探寻与问题目标的本质联系，以这样一种最朴素的思想去思考，让整个解题思维过程自然流畅。

2.分类设计

本文所指函数模块数学解题中的数学对象特指：方程、函数、不等式三类。因为代数问题探究的基本上是等量关系和不等关系，其中等量关系中需要能分析出解决该问题时需要把等量关系看成方程还是函数展开探究，但有时候不考虑所含字母的身份，只是看成等式就可以解决问题。

本案例拟从数学对象选择入手，展开一题多解的处理方法；然后再改变数学对象的特质，展开一题多变下不断调整策略沟通数学对象与问题解决目标之间的联系，从而达成优化解决一类问题的解题方法。

三、后记

本文提出的以确立适切的数学对象入手开展解题，在本人多年教学中一直渗透着、实践着，所带的毕业班都能在高考中于同类班级中取得平均分第一，并能出现高分。现粗浅地总结出来分享给大家。希望能对教师的教学有所启发，提高教学效益，并能帮助学生提高解题能力，增强解题信心，以收到事半功倍的效果。

参考文献：

[1]张海燕.高中函数解题教学的研究[D].湖南师范大学，2012.

[2]陈鑫笑.高中函数学习障碍分析及教学对策研究[D].洛阳师范学院，2016.