关于水文同频率地区组成法中相应洪量频率的探讨
2018-11-13黄一昕梁忠民胡义明李彬权王军
黄一昕 梁忠民 胡义明 李彬权 王军
摘要：水文中往往需要研究水文变量在空间上的分配规律，同频率地区组成法是目前解决该问题的一个重要方法，但其中仍有一些理论问题悬而未解。以“上下同频、区间相应”的组成方案为例，区间相应量的频率C与“同频”中设计频率P之间的大小关系，无法判断，目前尚无理论证明。因此，对正态分布和PⅢ分布，分别通过理论推导和统计试验途径，明确了C与P之间关系。对设计洪水问题，根据“上下同频、区间相应”求得的区间相应洪量，其频率C将大于设计频率P；对径流或枯水设计问题而言，区间径流量的频率C将小于设计保证率P。研究结果从理论上进一步明晰了同频率地区组成法中相应量的频率问题。
关键词：同频率地区组成法；正态分布；PⅢ型分布；设计频率；设计保证率
中图分类号：P333.6文献标志码：A文章编号：16721683（2018）03018905
Discussion on the corresponding flood frequency in the Hydrological Equivalent
Frequency Regional Composition method
HUANG Yixin，LIANG Zhongmin，HU Yiming，LI Binquan，WANG Jun
（College of Hydrology and Water Resources， Hohai University， Nanjing 210098， China）
Abstract：The spatial distribution rules of hydrological variables are often studied in hydrology.The Equivalent Frequency Regional Composition （EFRC） method is an important approach to solving this problem at present.However，there are still some theoretical issues that remain unsolved.Take as an example the composition scheme of "same design frequencies at upstream and downstream， with corresponding value at the interval"，we cannot determine which is larger between the frequency of the interval area （C） and the design flood frequency （P） at both upstream and downstream due to a lack of theoretical proof.In this study，we investigated the relationships between C and P for the normal and Pearson type III （PE3） distributions by means of theoretical derivation and Monte Carlo （MC） experiment.Results showed that C is larger than P for the design flood problem， while for the design problem of runoff or low flow， P is larger than C.Therefore，this study has clarified in theory the design frequency of corresponding value at the interval for the EFRC method.
Key words：equivalent frequency regional composition method；normal distribution；Pearson type III distribution；design frequency；design guarantee rate
設计洪水分析计算是为水利及涉水工程提供合理的水文设计值[14]，当涉及到多个站点（断面）的分析计算时，需要处理设计断面以上各部分设计洪水地区组成的问题。传统的设计洪水地区组成方法主要包括地区组成法、频率组合法和随机模拟法[1]，其中，地区组成法是现行设计洪水地区组成计算中最为常用的方法。地区组成法研究的是当设计断面发生设计标准洪水时，上游及其区间洪水的地区组成情况。为了在各种可能出现的洪水地区组成中，选择一种特定的组成作为设计地区组成，使计算成果规范化且偏于安全，目前常采用同频率地区组成法，即“上下同频、区间相应”，或者“区间下游同频、上游相应”[58]。另外，近年来兴起的Copula函数多维联合分布理论，也可用来分析计算洪水地区组成或峰量组合的问题[913]。但是，无论采用哪一种洪水地区组成法，对相应洪量的频率大小一般认为是不确定的，例如，对同频率地区组成法中“上下同频、区间相应”的组成情况，可以根据水量平衡原理得到区间相应洪量，但区间相应洪量的频率是多少？目前文献中一般都笼统地概括为“其频率可能等于P，也可能大于或小于P”，尚未见到相应的理论证明，给实际应用带来一定困惑。
因此，本文通过理论推导和统计试验，对同频率地区组成法中“相应”洪量频率大小的问题进行研究，为实际工程水文设计提供理论依据。
第16卷 总第96期·南水北调与水利科技·2018年6月黄一昕等·关于水文同频率地区组成法中相应洪量频率的探讨1同频率地区组成法简介
以图1所示的流域上游、区间及下游洪水组成为例，设X、Y和Z分别为其洪量的随机变量，根据概率论原理，三个随机变量的取值有无穷多种组成。目前在我国的水文频率分析计算中，根据防洪要求，一般考虑两种同频率地区组成情况：
（1）当下游断面发生设计频率P的洪量Zp时，上游断面发生同频率洪量Xp，而区间发生相应的洪量Yc，即
Yc=Zp-Xp（1）
（2）当下游断面发生设计频率P的洪量Zp时，区间发生同频率洪量Yp，而上游断面发生相应的洪量Xc，即
Xc=Zp-Yp（2）
本文以“上下同频、区间相应”情况为例，对区间相应洪水的频率C进行理论推导与探讨，明确其与设计频率P的大小关系。
2区间相应洪水频率大小的探讨
我国设计洪水计算中一般采用PⅢ型分布描述水文极值的概率分布，但对洪水地区组成问题，多维PⅢ分布难于处理，例如，如果假设上游和下游的洪水服从PⅢ分布，则对区间洪水，因涉及到多变量PⅢ联合分布的计算，难以确定其分布；而如果假设上、下游服从正态分布，可容易推求出区间洪水相应的正态分布函数。因此，先以正态分布情况为例，对区间洪水频率与上下游断面洪水设计频率之间的大小关系进行研究，再扩展到一般分布情况。
2.1正态分布
对图1所示的随机变量X、Y、Z，满足水量平衡条件Z=X+Y。进一步假设X和Y相互独立，由于当X和Y不独立时可采用变量代换的方法处理后使它们可按独立随机变量进行频率组合，故可以统一以两者独立为例讨论问题。
假定上、下游及区间的洪量均服从正态分布N（μ，σ2），即，上游断面洪量X～N（μx，σ2x），区间洪量Y～N（μy，σ2y），下游断面洪量Z～N（μz，σ2z）。图2所示即为正态分布概率密度图；图中μ为均值，同时也是中位数、众数；f（x）在x=μ处达到最大，最大值为12πσ。
令μy=mμx（m>0），σ2y=n2σ2x（n>0），
则μz=μx+μy=μx+mμx，σ2z=σ2x+σ2y=σ2x+n2σ2x，
即，变量Y和Z的分布参数均可由X的参数表示：Y～Z（mμx，n2σ2x），Z～N（μx+mμx，σ2x+n2σ2x）。
分别计算一定洪量下的上、下游以及区间的洪水频率，以上游断面洪量发生{X≥x}事件的频率计算为例：
P1（X≥x）=12πσx∫+∞xe-（x-μx）22σ2xdx（3）
令x-μx2σx=t，则，x=2σx·t+μx，dx=2σx·dt
因为x∈（x，+∞），所以t∈x-μx2σx，+∞，
P1（X≥x）=12πσx∫+∞x-μx2σxe-t2·2σxdt=1π∫+∞x-μx2σxe-t2dt（4）
同理：
P2（Y≥y）=1π∫+∞y-μy2σye-t2dt=1π∫+∞y-mμx2nσxe-t2dt（5）
P3（Z≥z）=1π∫+∞z-μz2σze-t2dt=1π∫+∞z-（1+m）μx2（1+n2）σxe-t2dt（6）
对“上下同频”，等价于P1（X≥x）=P3（Z≥z），也就是等价于其积分下限相等，即：
x-μx2σx=z-（1+m）μx2（1+n2）σx（7）
由此可以推得：
z=1+n2（x-μx）+（1+m）μx（8）
同理，可以比较由式（4）和式（5）代表的上游和区间洪量频率的大小。
设Δ为式（4）和（5）积分下限之差，即
Δ=x-μx2σx-y-μy2σy，结合式（8）并Y=Z-X，则：
Δx-μx2σx-y-μy2σy=
（x-μx）（n+1）-n2+12nσx（9）
若Δ>0，則表明区间洪量的频率大于上、下游断面洪量的设计频率；
若Δ=0，则表明区间洪量的频率等于上、下游断面洪量的设计频率；
若Δ<0，则表明区间洪量的频率小于上、下游断面洪量的设计频率。
因为式（9）中（n+1）-n2+12nσx>0恒成立，因此：
（1） 当x<μx时，即当上、下游断面洪量的设计频率大于0.5时，
Δ<0，P1（X≥x）=P3（Z≥z）>P2（Y≥y），
此时，区间相应洪量的频率C小于上、下游断面洪量的设计频率P。
（2） 当x=μx时，即当上、下游断面洪量的设计频率等于05时，
Δ=0，P1（X≥x）=P3（Z≥z）=P2（Y≥y），
此时，区间相应洪量的频率C等于上、下游断面洪量的设计频率P。
（3） 当x>μx时，即当上、下游断面洪量的设计频率小于05时，
Δ>0，P1（X≥x）=P3（Z≥z） 此时，区间相应洪量的频率C大于上、下游断面洪量的设计频率P。 由此说明，对正态分布情形，同频率地区组成后相应洪量那部分的频率与设计频率之间的大小关系，取决于上下游断面洪量的大小。对设计洪水问题，设计频率一般小于05，即上游和下游断面洪量均大于均值，则按照“上下同频、区间相应”得到的区间洪量的频率是大于设计频率的；换句话说，若上、下游洪量按百年一遇标准设计，则区间洪量就小于百年一遇。对枯水或径流设计问题而言，设计频率（或保证率）大于05，则结论正好相反。 对其他的同频率地区组成方案，如“区间与下游同频、上游相应”等，亦可得到相类似结论。 2.2PⅢ型分布 我国水文频率分析中，假设洪水极值服从PⅢ型分布，对洪水地区组成问题，这涉及到多变量PⅢ联合分布的计算问题，十分复杂，难以像上述对正态分布那样，可采用理论推导方式讨论相应洪量的频率。因此，本文采用统计试验方法[1415]，研究当洪水服从PⅢ型分布时，“上下同频、区间相应”地区组成方案中，区间相应洪量的频率问题。
考虑到实际情况中，下游洪量等于上游洪量与区间洪量之和，所以下游洪量一定是大于上游洪量（这是闭合流域的一般情形，非闭合流域或区间及沿程损失偏大的特殊情形除外）。因此，统计试验中假定总体统计参数时，应保证随机产生的下游洪量能大于上游洪量。为不失一般性，本研究统一取上游洪量X的均值EX=1 000，下游洪量Z的均值EZ=2 000，（当然，上下游洪量均值也可以选取其它值，但只要保证下游大于上游，结论是相同的）。同时，为涵盖实际工程中可能出现的PⅢ型总体分布情况，使结果具有普适性，将统计试验中离势系数Cv和偏态系数与离势系数的比值Cs/Cv取为一些特定值，与现行水文频率计算的做法相一致。本研究中，上下游的离势系数Cv分别同时取02、04、05、07、10；对偏态系数与离势系数的比值Cs/Cv，上游断面分别取2、3、4三种情况，而下游只取Cs/Cv=4一种情况；故共有15种总体组合的统计试验方案。对每种方案，随机生成10万个“上下同频、区间相应”地区组成的洪水样本，分析区间相应洪量的频率与“上下同频”中频率之间的大小关系；其中，设计频率取001%、01%、1%、2%、10%、20%、25%、30%、35%、40%、45%、50%、60%、75%、80%、90%、95%、97%、99%、999%共20种情形进行分析。由于生成的10万个样本，容量足够大，所以对上游和下游断面，直接采用其样本的累积经验分布估计各种设计频率P下的洪量，两者之差（下游Zp减上游Xp）即是区间的相应洪量（记为Yc）；该Yc所对应的频率按照下述方法推求：区间10万个相应洪量样本由下游断面与上游断面10万个洪量样本之差得到，再根据其样本累积经验分布，即可得到与设计频率P相应的洪量及其频率（记为C）。
以上游断面洪量EX=1 000、Cv=04、Cs/Cv=4，下游断面洪量EZ=2 000、Cv=04、Cs/Cv=4的地区组成方案为例，计算结果见表1，区间相应洪量的频率C与设计频率P之间关系见图3。
从图3可以看出，存在一个设计频率临界点P0（两条线交点对应的设计频率），当“上、下同频”中设计频率P的取值大于临界点P0时，区间相应洪量的频率将小于P，即C
类似地，可以得到其它总体组成方案的设计频率临界点P0，表2列出了全部15组方案的统计试验结果。从中可知，对所有的总体组成方案，设计频率临界点P0的最大值为60%、最小值为35%。对设计洪水问题而言，由于设计频率一般均较小，如P=001%、01%、1%等，远小于35%，所以，按照“上下同频、区间相应”得到的区间洪量，其对应的频率是大于“同频”中的设计频率的；即若上、下游洪量按百年一遇标准（P=1%）进行同频率地区组成，则区间洪量就小于百年一遇。同理，对径流或枯水设计问题而言，设计频率（或设计保证率）一般都在75%、90%等以上（均大于60%），则结论类同，即按照“上下同频、区间相应”得到的区间径流量，其频率是小于设计保证率的，是达不到设计保证程度要求的。
综上所述，对水文同频率地区组成问题，如“上下同频、区间相应”组成方案中，区间相应洪量（径流量）频率的大小，无论是对正态分布进行的理论推导，还是对PⅢ分布进行的统计试验，均可得到如下结论：对设计洪水问题而言，相应洪量的频率大于“同频”中的设计频率；而對设计径流或枯水问题而言，区间相应径流量的频率小于其设计保证率。
3结论
本文对水文上常用的同频率地区组成方案中“相应洪量或径流量”的频率问题进行了研究，通过正态分布的理论推导及PⅢ分布的统计试验，得到如下主要结论。
以“上下同频、区间相应”的组成方案为例，存在一个频率临界点P0，使得当“同频”中的设计频率P的取值大于P0时，“相应”量的频率C将小于设计频率P，即C
对于设计洪水问题，由于“同频”中的设计频率P一般远小于35%，如P=0.01%、01%、1%等，所以根据“上下同频、区间相应”求得的区间相应洪量，其频率将大于设计频率。对于径流或枯水设计问题，由于设计频率（或设计保证率）P一般都大于65%，如P=75%、90%、95%等，则按照“上下同频、区间相应”得到的区间径流量，其频率C是小于设计保证率P的，即达不到设计保证程度要求。此结论对同频率地区组成中的其它方案，如“区间与下游同频、上游相应”等，也是类同的。
另外，对其它不同的统计分布模型（线型），频率临界点P0将是不一样的，相应结论也会有所不同，但本文的方法同样可以借鉴应用。
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