一题多解、一题多变、多解归一

李娜娜

【题目】已知：如图1，在梯形ABCD中，[AD∥BC，∠A=90°]，E为AB中点，[AD+BC=DC].求证：（1）[DE⊥EC，DE平分∠ADC].（2） 分别以BC、BA所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系，AD=4，AB=12，求直线CD的表达式。

该题是对上海数学教材《22.6（2）梯形中位线》中例8的改编题，用于初二年级下学期数学期末模拟测试，本文主要是研究该题第（1）问的“一题多解、一题多变”。

一、一题多解

【学生解法】（如下图）

方法1：取CD中点H，联结EH。

方法2：延长DE交CB的延长线于点F。

方法3：延长CE交DA的延长线于点G。

方法4：延长CB到F，使BF=AD，联结EF。

方法5：延长DA到G，使AG=BC，联结EG。

【分析】方法1则是从在梯形ABCD、E为腰AB中点以及[AD+BC=DC]联想到梯形的中位线定理.方法2和方法3是将已知条件[AD∥BC]和E为AB中点进行联合发展，通过构造中心对称，从而得到一组全等三角形，来实现问题的解决.方法4和方法5则是从直角梯形以及E为中点，构造SAS全等，也有同学是以[AD+BC=DC]为切入点，想到“截长补短”，学生的典型错误是证明时忽略了三点共线问题。

二、一题多变

我们对一道题做“变式”的基本思路有：“弱化已知条件”、“加强所证结论”以及“交换条件和结论”.若把该题的第（1）问中的部分条件和结论分别编号：①E为AB中点；②[ AD+BC=DC]；③[ DE⊥EC]；④[ DE平分∠ADC]。通过“交换条件和结论”得到了非常精彩的变式，并且每一个变式都是可以证明是成立的，且方法多样。

【变式1】已知：在梯形ABCD中，[AD∥BC，∠A=90°]，①E为AB中点，③[ DE⊥EC].求证：[② AD+BC=DC，④ DE平分∠ADC。]（辅助线添加方法1、2、3、4、5。）

【變式2】已知：在梯形ABCD中，[AD∥BC，∠A=90°]，①E为AB中点，[④ DE平分∠ADC].求证：[② AD+BC=DC，③ DE⊥EC。]（辅助线添加方法1、2、3、4、5、6、7。）

【变式3】已知：在梯形ABCD中，[AD∥BC，∠A=90°]，[② AD+BC=DC]，③[ DE⊥EC]。

求证：①E为AB中点[，④ DE平分∠ADC.]（辅助线添加方法3）

思路：用“反正法”证明EH是梯形ABCD的中位线。假设EH不是梯形ABCD的中位线，在[RT?CDE]中，易得[EH=12CD=12（AD+BC）]，取AB中点M，则由梯形中位线定理，易得[HM=12AD+BC，且HM∥AD，]所以[HM⊥AB]，根据点到直线的距离，垂线段最短，易得[HM

【变式4】已知：在梯形ABCD中，[AD∥BC，∠A=90°]，[② AD+BC=DC]，[④ DE平分∠ADC].求证：[①E为AB中点，③ DE⊥EC.]（辅助线添加方法1、6、7。）

【变式5】已知：在梯形ABCD中，[AD∥BC，∠A=90°]，[③ DE⊥EC]，[④ DE平分∠ADC].

求证：[①E为AB中点，② AD+BC=DC.]（辅助线添加方法2、6、7。）

【辅助线添加方法】

1.延长DE交CB的延长线于点F。

2.延长CE交DA的延长线于点G。

3.取CD中点H，联结EH。

4.延长CB到F，使BF=AD，联结EF。

5.延长DA到G，使AG=BC，联结EG。

6.过点E作[EI⊥CD]，垂足为点I。

7.在DC上截取[ DI=AD，联结EI]。

三、多解归一

在研究这五种变式时，发现变式2的辅助线添加方法有7种，仔细分析，不难发现除了构造梯形中位线之外（辅助线3），其他添加方法，均为了与已知条件结合，构造出全等三角形，通过对比可以感受到，不同的辅助线添加，其实都殊途同归，为三角形全等提供了条件，从而解决问题，“多解归一”思维习惯的培养，非常有利于深入本质，锻炼思维，掌握解题规律。

平面几何的学习，主要是推理论证，不同的题目，证法各异，但证法的规律是存在的，要注意引导学生去发现、积累、总结、掌握这些规律.该题第（1）问的“一题多解”“一题多变”，提炼后有三种常规辅助线的。

1.已知线段中点，可以考虑构造中心对称，形成全等三角形.这种辅助线的添加方法在教材中多次运用，例如：上海数学教材《18.2（6）几何证明》例11、直角三角形中线性质定理的证明、梯形中位线定理的证明。

2.已知角平分线，可以考虑构造轴对称，形成全等三角形。变式5的方法3则是对常见的基本图形的处理方法：当已知条件中一条角平分线垂直于另一条线段时，可以延长该线段，构造全等。

3.已知梯形及一腰的中点，可以考虑添加梯形中位线，应用梯形的中位线定理进行解题。

这几种常规辅助线的添加看似难度不大，但当其应用于较为复杂的综合题时，往往是解题的关键所在，平时教学时，也可以从一题多解、一题多变、多解归一的角度去进行教学设计，帮助学生深入本质，锻炼思维。

参考文献

[1]孙维刚.初中数学[M].北京：北京大学出版社，2015，6.

[2]何小亚.中学数学教学设计[M].北京：科学出版社，2008，7.