自由跌水溢洪道冲坑深度的新指数型公式

王俊　张凯

摘 要：采用量纲分析π定理建立了自由跌水冲坑深度的预测模型，利用多元线性回归方法得到了自由跌水冲坑深度的预测公式；用收集到的数据对公式进行了验证和精度分析。结果表明，本文公式考虑的影响因子较为全面，公式结构简单，计算精度高，对实际工程中冲刷深度的预测有一定的参考价值。

关键词：自由跌水；冲刷深度；冲刷公式；量纲分析

自由跌水在水工建筑物下部引起的冲刷是水利工程中重要的课题之一。在阶梯式溢流坝中，水流几乎垂直地射向下游河床，由于水流流速和能量大，将对下游河床产生侵蚀，可能会导致冲刷坑接近大坝的地基，从而威胁大坝的稳定性。因此，对冲刷深度的准确估计是水利工程的重要课题之一。为估计下游溢洪道的冲刷深度，许多研究人员提出了多种经验公式。陈椿庭提出了以水垫单位体积消能率为基础的陈椿庭公式[1]；刘沛清通过在逆坡方向建立动量方程，再根据冲击射流理论进行推导，得到了河床冲坑深度的计算公式[2]。国外的Bormann、Mason等也基于试验提出了各自的公式。本文在前人研究的基础上，采用量纲分析法建立了一种结构简单、参数较少的自由跌水冲坑深度的新指数型公式。

1 公式建立

1.1 量纲分析

结合国内外学者的研究来看，对于溢流坝下的自由跌水冲刷，其影响因素眾多；鉴于冲刷过程和影响因素非常复杂，要想全面考虑各种因素来建立冲刷深度公式是不现实的。为此，本文在已有研究的基础上[3]，将冲刷深度的影响因素归纳为：单宽流量q、堰顶上的水头h0、冲刷前的下游水深h、泥沙颗粒的中值粒径d50以及重力加速度g。

综上，冲刷深度可以表示为：

（1）

其中，S为平衡冲刷深度；q为单宽流量；g为重力加速度；h冲刷前的下游水深；d50为泥沙中值粒径；h0为堰顶上的水头。

因此式1可化简为：

（2）

利用式2中的6个变量与基本量纲长度[L]、质量[M]、时间[T]，建立量纲矩阵如表1所示。

该量纲矩阵的秩为2，根据量纲分析π定理，应选取2个基本量纲，冲刷深度需用4个独立的无量纲组的关系式来表示。这里选择重力加速度g与泥沙中值粒径d50为基本量纲，建立无量纲组：

， ， ， （3）

将式3中的各无量纲参数代入式（2），并根据π定理改写为指数形式得：

（4）

式中， 为经验系数。式（4）即为建立的自由跌水冲坑深度模型。

1.2 计算公式

采用文献3中的114组试验数据进行公式中各经验参数的确定和公式的检验；随机挑选出其中80组数据用于公式中参数 的确定。对式（4）中的各无量纲项进行对数处理后，采用多元线性回归方法进行参数的确定，回归分析结果如表2所示。由表2可以看出，回归函数F检验、置信水平达到了要求，相关系数达到了94.53%，且回归参数置信区间不包含零点；因此回归结果可靠。

由图2可以看出，实验值与预测值基本吻合。同时采用相关系数法对公式的计算结果和实际值的相似度进行了计算，经计算，相关系数达到了94.65%，表明本文公式能够较准确的预测自由跌水时河床的平衡冲刷深度。

3结论

采用量纲分析原理，在前人研究的基础上，建立了自由跌水冲坑深度的新型指数公式。检验结果表明，本文建立的公式结构合理；计算值与实际值的相关系数达到了94.65%，表明该公式的计算精度较高，对自由跌水情况下的河床冲坑深度的预测具有指导意义。

参考文献

[1]余常昭， 李保如， 陈椿庭. 关于高坝挑流消能和局部冲刷深度的一个估算方法[J]. 水利学报， 1964（3）.

[2]刘沛清， 冬俊瑞. 挑射水流对岩基河床冲刷的探讨[J]. 长江科学院院报， 1994， 11（4）：1-9.

[3]DAgostino V， Ferro V. Scour on Alluvial Bed Downstream of Grade-Control Structures[J]. Journal of Hydraulic Engineering， 2004， 130（1）：24-37.

作者简介

王俊（1997—），男，从事水力学与河流动力学研究。