高中数学向量知识的工具性研究

摘 要：向量知识在高中数学中有着独特的地位，它是高中数学知识的一个独立知识点，与此同时还是许多其他知识点的解题工具。而对于向量知识的工具性研究探讨是高中数学知识的教学重要部分。本文就数学中向量知识的工具性进行研究解说，希望对于高中数学的教育事业提供一定的参考意义。

关键词：高中数学；向量知识；工具性

高中数学的学习是一个完整体系的构建学习，因此其中的各部分知识点具备一定的联系。而向量知识在高中数学中不仅仅是一个重要的考查知识点，并且可以用于其他高中数学问题的解答与理解中，对于提高高中学生的数学成绩与拓展学生数学思维有着很大帮助。

（一） 向量工具性概述

向量概念具备代数意义，也就是他的绝对长度，又称为向量的模，可以用一个有序数组来表示，并且还具有具体的几何意义，无论是平面几何还是立体几何中，都可以寻找到向量的概念，利用具体的线段代表向量的具体意义，因此可以用于沟通代数问题与几何问题，并且通过利用向量工具将数与形结合起来，为学生提供一种新的解题思维。

（二） 向量工具性实例讲解

1. 向量工具性在解决代数问题中的应用体现

代数是高中数学的重要组成部分，它的内容占据了很大的比例，主要包括数列、三角函数、统计与概率、导数与极限、方程等问题。这一类问题主要有几类。

第一，最值的求解：如果实数 x，y 满足 x2+y2+xy=1，那么 x + y 的最大值是多少？这一道是高考数学题目，具有一定的难度，利用平面几何知识解答具有极大的难度，对这一题的解答需要构建向量解决，需要一定的发散思维。具体构建方案不止一种，这里笔者只用一个解法来讲解这一类问题的解决思路，mn≥m·n，对于这一题而言需要运用上述不等式，而m与n是有学生自行思考构造的向量，构建的向量方向为m·n为x+y的一定倍数，而mn为x2+y2+xy=1的倍数，如此可以利用前文中的公式解决这一题，如m为（12x+y，32x），而n 为（1，13）如此可以得到结论为x+y≥233（x2+y2+xy），由此就可以得到最终结果为233。如此通过构造具体的向量就可以得出学生想要的结果。

第二，求解代数式：在直角三角形ABC 中，D 为三角形斜边上的中点，P 是线段 CD 的中点，求PA2+PBPC22的值？对于这一问题需要理解题目中给出的公式的具体意义理解。但是乍一看难以理解，这里需要理解PA2=PA2，而可以将PA理解为向量，则可以将向量以其他向量表示如PA=PC+CA，利用这一公式对于所求式子进行改编后，可得16PC2-8PC2+2PC2PC2，由此可以求得最终结果为10.这一类问题的求解主要在于将式子中的代数式利用向量方法与几何图像进行对接理解，更进一步进行计算。这一道题的解答较为简单，在题目中对于代数式有直接的提示，而更加高难度的问题中会将需要求的代数式隐藏起来，需要学生利用自己学过的知识去解决，需要学生冷静分析。

2. 向量工具性在解决几何问题中的应用体现

几何问题占据了高中数学的重要部分，主要有两个部分，平面几何与立体几何，而利用向量工具可以较好地理解分析这些问题。

第一，解决平面几何问题：向量解决平面几何问题是非常常规的做法，最为典型的是解决角度问题其中有一个三角形ABC，D点在BC上，BD=12DC，∠ADC=120°，AD = 2，如果三角形ADC的面积是 3-3，那么∠BAC是多少度？对于这一题，需要运用数形结合知识，将几何问题转化为代数问题可以见到利用三角形的面积公式，即S=AB×AC/2，再加上将三角形中的各个边转化为向量形式即可求出结果。此外还可能变化考察形式，要求判断是否是特殊三角形，如等腰三角形、直角三角形，这一类问题通常出现在高考的选择填空中，难度虽然不大，但是需要快速解决。例如：已知O为三角形ABC内的一点，其中OB-OC=OB+OC-2OA，那么三角形ABC是个什么三角形？这里可以通过对于问题给出的向量公式，通过转化得出结论AB-AC=AB+AC，这是矩形对角线的向量表达形式，则我们就要知道这个三角形是一个直角三角形。

第二，解决立体几何问题：在立体几何问题解答过程中，由于线面关系难以直接得到，向量解决方法极为常见。利用向量知识可以将抽象的几何问题具象为学生熟悉的代数问题。例如 以 2012 年福建省理科高考数学第 18 题为例：如长方体 ABCD - A′ B ′C′ D′，其中 AA′ = AD = 1，E是CD 的中点，求证：BA ⊥AD。由于各线之间的关系难以从几何图像中直接判断，利用向量知识可以更加直接地解答，选择点A为坐标系原点，沿着长方形的各边做坐标轴，将每一个点的坐标做出，就可以简单得到向量的代数式，解答这一类问题。除了线与线之间的关系求解，这非常直接，较为难一点的如面与面之间的关系求解，平行或者垂直，也可以利用面的垂线向量来解答，利用垂线关系来得出面面关系，这些虽然具有一定的难度，但是依旧是学生需要熟悉掌握的基础解法。

向量问题的解答极为灵活多变，并且与其他部分的数学知识的学习解答关系紧密，需要教师高度重视，加强教学过程中与其他相关部分的讲解。在实际的教学中，不仅仅要在向量知识的讲解中介绍其他知识的相关运用，在代数、几何知识的讲解中，也要向学生介绍拓展向量解法，帮助学生更好的解答复杂的问题，拓展學生的数学思维，学生可以利用更多方法解答遇到的问题，不仅仅是数学成绩的提高，更加是个人素养的提升。

参考文献：

[1]朱国辉.高中数学向量知识的工具性研究[J].数理化学习（教研版），2017（9）.

[2]戴逸凡.例谈向量在高中数学解题中的应用[J].中学课程辅导：教师通讯，2016（20）.

[3]王霞瑶.例谈向量在高中数学解题中的应用[J].数理化解题研究，2016（7）：28-29.

作者简介：

张涛生，福建省龙岩市，连城一中。