具有非期望产出的混联网络DEA模型

董杰　孙玉华

摘 要 数据包络分析（DEA）是评价系统相对有效性的分析方法，网络DEA模型在评价企业的经济效益、管理效益等实际问题中有着广泛的应用.在网络DEA模型的基础上考虑非期望产出要素，提出了具有非期望产出的混联网络DEA模型.研究了新模型的系统弱DEA有效与各子阶段弱DEA有效之间的关系，找到了无效决策单元的无效阶段，通过有针对性的改进能够提高系统的整体效率.最后通过数值算例验证了模型的可行性.

关键词 应用数学；网络DEA模型；数据包络分析；非期望产出

中图分类號 O221 文献标识码 A

Abstract Data Envelopment Analysis （DEA） is an analytical method to evaluate the relative validity of a system， the network DEA model has been widely applied in the evaluation of the practical problems of economic enterprises， management efficiency and the like. Based on the network DEA model， the undesirable output factors are considered， and a hybrid network DEA model with undesirable output is proposed. The relationship between the weak DEA efficiency of the new model and the weak DEA efficiency of each sub-stage is studied. The invalid stage of invalid decision-making unit is found， and the overall efficiency of the system can be improved through targeted improvement. Finally， a numerical example is given to verify the feasibility of the model.

Key words applied mathematics； network DEA model； data envelopment analysis； undesirable outputs

1 引 言

系统评价是通过建立模型、计算、分析，对系统的性质进行综合评价，为决策提供科学的依据.其中，数据包络分析DEA是根据多指标的投入产出数据对相同类型的决策单元DMU进行相对有效性或效率评价的一种方法.传统的DEA模型考虑的是“黑箱”效率，忽略了系统内部子阶段间的相互联系，得到的结果不能满足实际问题中对复杂系统进行评价并优化的要求，因而开始了对打开“黑箱”后的网络DEA模型的研究.Fre和Grosskopf（2000）[1]首先对网络DEA进行了研究，在活动分析的基础上提出了基于生产系统的效率测度模型，此模型能够适应子系统之间存在的链接关系.随后Yang等（2000）[2]通过对k个并联独立子系统效率的评价提出了YMK模型，并得出了新模型下每个决策单元的整体效率等于其在C2R模型下所有子系统的效率值的最大值的结论.Tone和Tsutsu（2009）[3]考虑中间产品的链接活动，建立了矩阵型网络SBMDEA模型，可以对决策单元的整体效率和部分效率进行评价.魏权龄和庞立永（2010）[4]提出一种链式网络DEA模型并研究了DMU的网络DEA有效性与各个阶段的弱DEA有效性之间的关系.梁樑等（2010）[5]研究了一类简单网络生产系统的DEA效率并建立了网络DEA效率评价模型，该方法能够发现非有效决策单元.Matin和Azizi（2015）[6]提出了生产系统效率评价的一般混联网络DEA模型，证明了提出的新混联模型在串联、并联模型中同样适用，应用范围更广，但没有对混联模型的性质进行分析，提供的数值算例也仅限于串联、并联、两阶段模型，并没有给出结构复杂的混联模型的实例.

另一方面，在实际生产活动中，非期望产出常常会伴随期望产出同时出现，尤其是在对碳排放、矿业废水治理、生态文明建设、第三方物流供应商等的效率进行评价时，非期望产出显得尤为重要，直接影响系统效率值的判断和对决策单元的改进.边馥萍等（2002）[7]提出了一个非径向DEA模型，能根据实际情况有效地调整投入、期望产出和非期望产出分量的比例，使目标函数达到全局最优.何枫等（2014）[8]将方向距离函数扩展到传统两阶段DEA模型中，构建了两阶段投入产出导向的Malmquist-Luenberger指数模型，解决了两阶段生产过程中存在的非期望最终产出问题.王美强和李勇军（2016）[9]针对供应商同时具有双重角色要素和非期望产出要素的情形，提出了一种解决问题的新思路.

通过在混联网络结构基础上加入非期望产出因素，建立了具有非期望产出的混联网络DEA模型，此模型可以推广到更一般的情形.随后分析了混联模型系统网络弱DEA有效与子阶段弱DEA有效之间的关系，可以找到系统在哪个阶段是无效的，并据此对系统进行优化.

表2的第2～4列为系统的阶段效率，第5列表示系统的整体效率.观察结果可以发现只有当DMU三个子阶段的效率值均为1时系统的整体效率才为1，也就是说，只有DMU三个子阶段均为弱DEA有效时，系统整体才是弱DEA有效的.即使DMU有一个阶段不是弱DEA有效的，系统都不能达到整体弱DEA有效.以DMU3为例，即使第三个阶段效率为1，但系统的整体效率却没有达到1，这是由于第一、二个生产阶段的效率较低导致整体无效.

另外，运用DEA方法对DMU进行效率评价不只是为了得到DMU各子阶段和整体的效率值，关注更多的是效率计算后的评价部分，即对无效决策单元的改进.例如，对于DMU4，系统整体效率为0.8491，系统非弱DEA有效，由定理3知必存在无效的子生产阶段，通过观察发现，其第一、二阶段的效率均为1，而第三阶段仅为0.8333，无效.这样，通过对第三阶段各项投入产出指标进行调整，就可以提升混联系统的整体效率.因此，提出的具有非期望产出的混联网络DEA模型可以通过DMU效率的计算，找到导致系统整体无效的根源，从而进行有目的性的改进.通过前沿面的“投影”分析确定各项投入产出指标的调整量，提升混联系统的阶段效率，进而提高系统的整体效率.

5 结 论

网络DEA模型在越来越复杂的系统评价中发挥着重要作用，通过在混联网络系统基础上加入非期望产出因素，建立了具有非期望产出的混联网络DEA模型，此模型可以推广到更为一般的情形，应用范围更广，利用实例验证了新模型的有效性.同时得出了混联模型系统弱DEA有效与子阶段弱DEA有效之间的关系，据此找到导致系统整体无效的根源，有助于对系统进行优化，提高整体效率.

参考文献

[1] Rolf Fre， Shawna Grosskopf. Network DEA [J]. Socio-Economic Planning Sciences， 2000， 34（1）： 35-49.

[2] Yinsheng Yang， Benjiang Ma， Masayuki Koike. Efficiency≤≥measuring DEA model for production system with k independent subsystems [J]. Journal of the Operations Research Society of Japan， 2000， 43（3）： 343-354.

[3] Tone Kaoru， Miki Tsutsui. Network DEA： A slacks-based measure approach [J]. European Journal of Operational Research， 2009， 197（1）： 243-252.

[4] 魏權龄，庞立永.链式网络DEA模型[J].数学的实践与认识，2010，40（1）： 213-222.

[5] 毕功兵，梁樑，杨锋.一种简单网络生产系统的DEA效率评价模型[J].系统工程理论与实践，2010，30（3）： 496-500.

[6] Reza Kazemi Matin， Roza Azizi. A unified network-DEA model for performance measurement of production systems [J]. Measurement， 2015（60）： 186-193.

[7] 边馥萍，杨爱萍.具有非期望输出决策单元的有效性评价[J].系统工程，2002，20（6）：53-57.

[8] 何枫，祝丽云，徐晓宁.考虑非期望产出的两阶段生产过程全要素生产率评价研究[J].科技管理研究，2014，34（24）： 218-223.

[9] 王美强，李勇军.具有双重角色和非期望要素的供应商评价两阶段DEA模型[J].中国管理科学，2016，24（12）： 91-97.