两类Heisenberg群上的Hausdorff算子的最佳常数

郭久华

(上海大学理学院,上海200444)

Hausdorff算子最早是由Hausdorff[1]在1921年为解决数列收敛性问题引入的.它在复分析、调和分析以及偏微分方程中具有广泛应用.近年来,对于Hausdorff算子的研究吸引了大量的学者,也取得了丰富的结果[2-4].

一维经典Hausdorff算子定义为

式中,Φ是(0,∞)上的局部可积函数.通过变量替换,可以得到一维Hausdorff算子的另一种形式:

2003年,Andersen[5]研究了如下的n维Hausdorff算子:

式中,Φ(t)是定义在R+上的径向函数.

对于上述定义的两类高维Hausdorff算子,可以通过简单的计算看出TΦ与有着本质的区别,二者并不能通过简单的变量替换相互转化.

Heisenberg群是非交换的幂零Lie群,在表示论、调和分析、复分析、偏微分方程等数学分支中被广泛应用[7-8].Wu等[9]给出了Heisenberg群上n维Hardy算子的最佳常数.由于Hausdorff算子更具有一般性,Guo等[10]研究了一类Heisenberg群上n维Hausdorff算子在勒贝格空间中的最佳常数问题.基于此,本工作进一步研究了两类Heisenberg群上n维Hausdorff算子在中心Morrey空间以及Morrey空间中的最佳常数,并给出了其在中心BMO(central BMO,CBMO)空间上的最佳常数.

1 预备知识

Heisenberg群Hn是定义在R2n×R上并赋予以下法则的Lie群:对任意x=(x1,x2,···,x2n,x2n+1),y=(y1,y2···,y2n,y2n+1)∈ R2n×R,规定

Heisenberg群是一个齐次群,具有如下伸缩性:δrx=(rx1,rx2,...,rx2n,r2x2n+1),r>0,其相应的齐次维数是Q=2n+2.Hn上的Haar测度为R2n×R上的Lebesgue测度.对于任意可测集E⊆Hn,设其在Hn上的测度为|E|,则有|δr(E)|=rQ|E|,d(δrx)=rQd x.

对于任意的x∈Hn,Hn上的范数|x|h定义为由此可诱导出一个不变距离d(x,y)=|y−1x|h,其中y−1为y的逆元,且y−1=−y.

对于任意的x∈Hn,r>0,B(x,r)表示Hn上中心为x,半径为r的开球,即

S(x,r)表示该开球的球面,即

由上述定义,对于开球B(x,r),可以得到|B(x,r)|=|B(0,r)|=νQrQ,其中是Hn上单位球B(0,1)的体积.单位球面S(0,1)通常记为SQ−1,其面积记为ωQ,且有ωQ=QνQ.

下面给出Heisenberg群上两类n维Hausdorff算子的定义.

定义1 设Φ是一个在Hn上的局部可积函数,n维Hausdorff算子HΦ定义为

定义2 设Φ是一个在Hn上的局部可积函数,n维Hausdorff算子HΦ定义为

Rn中经典的Morrey空间最早是由Morrey[11]在1938年为研究二阶椭圆偏微分方程的局部解问题时引入的,其定义如下.

式中,

2012年,Guliyev等[12]给出了Heisenberg群上Morrey空间Lp,λ(Hn)的定义.

定义4 设1 6 p<∞,0 6λ6 Q,Heisenberg群上Morrey空间Lp,λ(Hn)的定义为

式中,

其中B(u,t)是Hn上以u为中心,半径为t的开球.若λ=0,则Lp,0(Hn)=Lp(Hn),并且当λ<0或λ>Q时,有Lp,λ(Hn)=Θ,其中Θ是Heisenberg群上值为0的全体函数的集合.

定义5设1 6 p<∞,0 6λ6 Q,中心Morrey空间˙Bp,λ(Hn)的定义为

式中,

其中B(0,t)是Hn上以原点为中心,半径为t的开球.

欧氏空间中的中心CBMO空间的概念最早由Lu等[13]在1995年引入,其定义如下.

定义6 设1 6 p<∞,如果

则称函数f∈CBMOp(Rn),其中是Rn上以原点为中心,半径为r的开球.

下面给出Heisenberg群上CBMOp(Hn)空间的定义.

定义7 设1 6 p<∞,若f满足

则称函数f∈CBMOp(Hn)空间,其中f(x)d x,B(0,r)是Hn上以原点为中心,半径为r的开球.

在本工作中,对于1 6 p<∞,设p0为p的共轭指标,即满足1/p+1/p0=1.如果p=1,p0=∞,此时规定

2 主要定理及证明

定理1设16p< ∞,0< λ6Q,如果Φ为非负径向函数,并且 CΦ,p,λ=则

且常数CΦ,p,λ是最佳常数.

证明 对HΦ(f)作球面坐标变换,得

对于1 6 p<∞,利用Minkowski积分不等式和H¨older不等式,有

综上,可知定理1成立,且常数CΦ,p,λ是最佳常数.

定理2 设1 6 p<∞,0<λ6 Q,若Φ为非负函数,且满足d y<∞,则

证明 对HΦ(f)作球面坐标变换,得

利用Minkowski积分不等式,可得

注意到在定理2中,函数Φ去掉了径向的限制,因此,该条件要弱于定理1.

证明 对HΦ(f)作球面坐标变换,并由f为径向函数得

利用Minkowski积分不等式,可得

(1)若|u|h>2t,则|x|h>t,那么

(2)若0 6|u|h6 2t,则B(u,t)⊆B(0,3t).对于0 6λ6 Q,有

综上,可知f0∈Lp,λ(Hn).定理3得证.

对于算子HΦ,可以得到以下定理.

定理4 设1 6 p<∞,0<λ6 Q,如果Φ为非负函数,且∞,则

证明 本工作仅给出上界的证明,下界的证明类似于定理3的证明.根据式(1),利用Minkowski积分不等式,可得

证明 设y∈Hn,当y 6=0时,令对任意的f∈CBMOp(Hn),令

易知gf为径向函数.由gf的定义,可得

于是,kgf k CBMOp(Hn)6 kf k CBMOp(Hn).因此

由式(2)可知,在CBMOp(Hn)中,HΦ的算子范数与限制在径向函数空间中的算子范数相等,因此不失一般性.下面假设函数f∈CBMOp(Hn)为径向函数.由定理3可知

得到

再次利用Minkowski积分不等式,可得

综上所述,定理5得证.

类似于定理5的证明,可以得到以下定理.

定理6 设1 6 p<∞,如果Φ为非负函数,且满足则