提高运载火箭模态频率预示精度的方法与模型修正策略

刘 博，牛智玲，李炳蔚，南宫自军，韩敬永

（中国运载火箭技术研究院，北京，100076）

0 引 言

一个型号成功的运载火箭往往会用于发射不同的有效载荷，这些有效载荷总质量和质量分布差异可能会较大，但是不可能针对所有运载对象都开展模态试验。另外，运载火箭在飞行过程中随着燃料的消耗质量不断变化，也无法开展所有飞行秒点模态试验。针对这些问题，工程中一般采用配备典型有效载荷的火箭特征飞行秒状态模态试验结果修正其有限元模型，进而计算获得不同有效载荷或其余飞行秒状态的模态参数。因此，模型修正是运载火箭结构动力学设计中的重要环节。

模型修正技术从 20世纪 80年代到现在，经过30多年的发展，得到广泛应用和深入研究[1,2]。张平安[3]等提出了一种基于混合人工鱼群算法的有限元模型修正方法，并以经典的GARTEUR飞机模型为例，验证了方法的可行性和有效性；林宏[4]等将连接刚度不连续处理方法、液体耦合质量单元等运载火箭动特性专业最新研究成果应用于火箭模型修正取得了很好的效果；王乐[5～7]等分别将全局优化算法和局部优化算法与导弹结构动力学相结合，提出了多种导弹模型修正方法。

如前所述，运载火箭模型修正的目的并不在于获取试验对象的模态参数，而是预示以下几种情况飞行器的模态参数：a）更换有效载荷或设备；b）未开展试验的秒状态；c）消除试验中工装附加质量的影响。这几种情况的共同特点是火箭刚度基本保持不变，质量发生了变化。因此，本文对基于模型修正的运载火箭模态参数预示中提高频率预示精度的方法进行探讨。

1 提高频率预示精度的方法

针对姿态控制系统设计和飞行器动载荷设计需求，一般在运载火箭的整体结构动力学建模时建立集中质量-梁模型[8]。基于实模态理论，计算火箭固有模态参数的结构动力学方程为

式中 M，K分别为火箭结构质量矩阵和刚度矩阵；x为位移向量；˙˙x为加速度向量。

在航天工程中，火箭质量分布参数一般由分站质量给出，因此在有限元建模时采用集中质量单元，矩阵M为对角阵。模型修正的过程就是通过调整有限元模型中的物理参数，从而改变刚度矩阵K，使得有限元计算的模态参数结果与试验结果一致。

求取式（1）描述系统的模态参数最终将归结为求解如下的广义特征问题：

式中 ω，ψ分别为模态的固有圆频率和模态振型。n自由度系统具有n个固有频率和n个模态振型，描述为rω和rψ，

假设某一修正后的有限元模型刚度矩阵为1K，对应计算获得的第r阶固有频率为1rω，那么频率的相对误差为

更换有效载荷后，即质量矩阵M中某一个或某几个对角线元素改变，为了分析以此有限元模型计算的带新有效载荷火箭模态参数的误差变化情况，可以考察式（3）中误差对质量变化的灵敏度。本文只推导一个质量矩阵元素变化的情况，多个元素变化的情况可叠加处理，规律相同。

对式（3）两边求导得：

式中im为泛指M的一个元素。

由式（2）不难得到：

式中irψ为第r阶振型的第i个自由度分量；rM为第r阶模态质量。将式（5）代入式（4）得：

利用这一重要规律，在模型修正不能同时兼顾频率与振型时，可以适当放宽频率修正误差，确保振型的一致性，然后利用修正后模型预示质量变化后的火箭模态频率时，进行误差补偿即可很大程度上消除修正误差，确保频率预示精度。实际上，这样做也同时提高了振型预示的精度。

假设质量变化后火箭的第r阶实际模态频率为rω~，直接采用修正后的有限元计算的模态频率为1rω~，那么预示误差为

如果修正误差对质量变化不敏感，则：

代入式（7）得修正误差补偿后的模态频率预示值：

或

2 算例验证

设某火箭为锥柱铝合金壳体结构，长 5 m，总重805 kg，有限元模型称为MO模型，如图1所示，其计算结果已知，可代替模态试验结果。质量分站及截面信息如表1所示。

图1 火箭有限元模型Fig.1 Finite Element Model of a Rocket

表1 质量分站与截面信息Tab.1 Mass Station and Beam Section Parameters of the Rocket

2个含有误差的模型称为MA模型和MB模型：

a）MA模型第3站到第5站的壁厚为0.003 m；

b）MB模型的火箭壳体材料弹性模量有误差，为铝的71.71%。

2个误差模型与基准模型的前 5阶横向弯曲频率与振型对比如图2和表2所示。

图2 模态振型对比Fig.2 Comparison of Mode Shapes of Different Models

续图2

由于MB属于整体刚度误差，因此振型与MO保持一致，各阶频率相对 MO降低的百分比一致，约MA模型误差对各阶模态的影响不同，因此振型和频率的误差各不相同。

单就频率误差而言，MA模型优于MB模型，但是MB模型的振型无误差，优于MA模型。

表2 模态频率对比Tab.2 Comparison of Modal Frequencies of Different Models

现在更改此火箭的有效载荷，导致第3站的质量由40 kg增加至140 kg，火箭总质量增加11.8%。采用MA和MB模型预示的模态频率结果和MO模型结果如表3所示。由表3可知，MA模型预示频率误差相对原始误差有所变化，但MB模型预示频率误差基本未发生变化。

表3 预示模态频率对比Tab.3 Comparison of Predicted Modal Frequencies with Different Models

按照式（9）或式（10）完成补偿后的预示模态频率见表4。

表4 预示模态频率对比（补偿后）Tab.4 Comparison of Predicted Modal Frequencies with Different Models (After Compensation)

由表4可知，通过频率补偿，MA和MB模型频率预示结果精度均很高，补偿后MB模型的频率预示结果优于MA模型。

3 结 论

本文针对运载火箭质量变化后模态参数预示问题，探讨了提高频率预示精度的方法，提出飞行器模型修正以振型吻合为主的修正策略和提高模态频率预示精度的频率补偿算法。由于在理论推导中仅采用了一阶灵敏度，因此对于质量变化很大的情况和修正误差过大情况的适用性有待进一步研究。算例仿真研究表明，通过补偿算法可以不同程度地消除频率修正误差，而补偿效果与振型的吻合程度有直接关系，验证了本文提出的策略的正确性与方法的有效性。