多面体外接球问题突破策略

曹丹育

【内容摘要】直观想象的核心素养的考查主要反映在立体几何中空间想象能力的考查，近几年全国高考题中立体几何客观题对组合体的考查热度不减，其中外接球问题是重中之重，如何求外接球的半径、表面积或体积，关键在于寻找外接球的球心，非特殊几何体通过寻找球的两个不平行的截面的圆心就可以确定球心，这样将空间问题化为平面问题，化抽象为直观，便于分析和解决问题。

【关键词】直观想象 多面体 外接球 球心

随着基础教育课程改革的不断深入，数学教学更加关注核心素养的培养，首都师范大学王尚志教授指出：“核心素养相对具体学科是抽象的，但它能以不变应万变，中国学生应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大数学核心素养。”从近几年全国高考新课标卷对立几的考查来看，对空间想象能力的要求提高了，特别是球的组合体问题的考查，着重考查学生直观想象的学科素养。而人教版高中数学必修二只是简单介绍球的概念和体积、表面积公式，对球的性质及与其它几何体结合的组合体问题只字未提，而球的组合体的考察显然是热点问题，该如何解决几何体外接球的半径、体积和表面积问题呢？笔者根据教学经验，对立体几何中的外接球问题进行一些探索补充，希望对解决这类问题有所帮助。笔者认为解决球的问题，关键量——半径，也就是球心到球面的距离，那么寻找球心就是重中之重，如何解决球心的位置问题呢？

一、球心位置概述

1.球的大圆的直径的中点；

2.过球的两个不平行的小圆的圆心且垂直小圆面的两直线交点。如图（1），（2）。

显然第一种方法确定球心不方便，因为题意往往只给出一个多面体，外接球不易画，当然更无法通过球的大圆来找圆心，所以笔者认为第二种方法适用，只要寻找两个不平行的截面的圆心就可以确定球心，这样将空间几何问题降维为平面几何问题，便于想象和分析，再把条件集中到某个直角三角形，利用方程思想破解。下面以特殊几何体和一般几何体为例分别说明如何确定球心。

二、常见的特殊几何体外接球

1.长方体外接球，其直径就是长方体的对角线，（或说长方体侧棱中的对棱形成的矩形所在的外接圆就是球的大圆）对角线的中点就是球心。（正方体是特殊的长方体）

2.正四面体的外接球，它的球心是它的高的四等分点中离面最近的第一个等分点，它也是内切球的球心；高的四分之三为外接球半径，四分之一为内切球半径。正四面体也可置于一个正方体中，则正四面体的外接球即为正方体的外接球。

3.边数为偶数的正棱柱的外接球，它的正对两侧棱形成的矩形对角线就是直径。

4.正棱锥的外接球，它的球心一定在它的高线所在的直线上。

5. 三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球，可用补形法，将其补成一个长方体，三条两两垂直的侧棱即为长方体的长、宽、高，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球。

6.四个面均为直角三角形的三棱锥，也可用补形法，将其置于长方体中，则该三棱锥的外接球即为长方体的外接球。

例1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a， 顶点都在一个球面上，则这球的表面积为 .

分析：球心在上、下底面中心的连线上，而且在连线的中点处，由R=216a，所以球的表面积为7πa23.

例2.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为a，則其外接球的表面积是 .

分析：可通过补形法，将三条两两垂直的侧棱作为长方体的长、宽、高补成一个长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，此题正好补为一个正方体，从而2R=3a2=3a，所以外接球的表面积为3a2π.

三、非特殊几何体的外接球问题

寻找外接球的球心，求外接球的半径的基本步骤：通过两个互相不平行的两表面多边形的外接圆圆心→过外接圆圆心作垂直外接圆面的垂线→两垂线的交点就是球心→再通过解三角形相关定理求得球的半径，解决球的体积或表面积等问题。

例3.已知如图所示的三棱锥D-ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC 和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=3，BC=CD=BD=23，则球O的表面积为（ ）

A.4π B.12π C.16π D.36π

说明：由于△DBC为等边三角形，所以其外接圆的圆心必是△DBC的中心，设为P，而△ABC为直角三角形，其外接圆的圆心必是BC的中点，设为Q，则过P与Q分别作△DBC和△ABC所在面的垂线，交点正好在△DBC中BC边上的高上，此交点就是球心。

解：∵AB=3，AC=3，BC=23

∴AB2+AC2=BC2

∴AC⊥AB

∴△ABC的外接圆的半径为3，

∵△ABC和△DBC所在平面互相垂直，∴球心在BC边的高上 .

设球心到平面ABC的距离为h，h2+3=R2=（32×23-h）2，

∴h=1，R=2. ∴球O的表面积为16π.

例4.已知边长为23的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A-BD-C为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（ ）

A. 25π B. 26π C. 27π D. 28π

分析：由已知菱形ABCD可知△DBC和△DBA均为等边三角形，所以分别由△DBC和△DBA的中心即外接圆的圆心作这两个三角形所在面的垂线，交点即为球心O，其中O′为△DBC的外接圆的圆心（三角形的中心），则∠AFC=120°，∠OFO′=60°， OO′⊥FC.

解：如图所示，∠AFC=120°， AF=32×23=3，则∵O′B=2，O′F=1，

∴O′O=tang60°·1=3，

∴由勾股定理可得R2=（3）2+4=7

所以四面体的外接球的表面积为28π.

【方法点睛】这两题主要是考查了球的组合体问题，要求表面积，就是要求半径，那么关键是找两个截面圆的圆心，再找球心，其中解答中涉及到球的基本性质的应用、球的表面积公式、三棱锥的线面位置关系、棱锥的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，突出数学的核心素养中直观想象的考查。

多面体外接球问题紧紧扣住如何确定球心位置为突破口，通过寻找两个不平行截面图形的外接圆圆心，然后分别过两个圆心作垂直于截面的垂线，交点即为球为O，进而将抽象问题具体化，化空间图形问题为平面图形问题，再利用直角三角形达到解决目的。通过特殊与非特殊几何体外接球问题的突破，复杂问题简单化，相关问题迎刃而解。

【参考文献】

[1]黄喜滨， 江泽. 基于核心素养的空间几何体外接球之探究[J]. 福建中学数学， 2017（8）：15-18.

[2]陈炳泉. 一道省质检试题的探讨[J]. 福建中学数学， 2017（5）：1-4.

（作者单位：福建省南平地区政和县第一中学）