用代数的方法解决高中立体几何问题初探

王昕阳

摘 要：用代数的方法解决几何问题，用求坐标、解方程代替辅助线、辅助面，思维单纯，容易直击目标。本文通过具体例子解说了解析法在高中幾何学习中的应用。

关键词：笛卡尔坐标系；代数方程；几何问题

学习高中立体几何，最主要的就是空间想象能力的培养，然后就是添辅助线，用几何的方法解决几何问题，这是常规的套路。自从研学了空间解析几何，笔者豁然发现用代数的方法解决几何的问题，即把图形放在坐标系里，用坐标计算代替做辅助线，解决立体几何问题会事半功倍。

一、建立坐标系，把图形放在特定的坐标系中思考

比如，异面直线之间的距离，教材中总是转化为线面距离、面面距离，也就是说需要图形中做出必需的辅助线，然后求解。例如，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，求异面直线DB1与AC间的距离。

这本是几何问题，但若以A为坐标原点，AB为X 轴正方向，AA1为 z 轴正方向，AD为 y 轴正方向，建立笛卡尔坐标系，则D点坐标是（0，1，0），B1坐标（1，0，1），A点坐标（0，0，0），C点坐标（1，1，0），这样DB1和AC的方程可以写出，把方程改为参数方程，得x=t1，y=-t1+1，z=t1；x=t2，y=t2，z=0。这样在两条直线上任意各取一点，求得两点间距离的平方为（t2-t1）2+（t2+t1-1）2+t12，上式除以t22，可得关于t1/t2的一元二次多项式，分析什么时候取最小值，最小值是多少，这样就转化为代数问题了，利用的原理是两点间异面直线间的距离最短。

利用笛卡尔坐标系统标示法以及变数的知识，可以把几何证明问题归结为代数求解问题，在求解时可以运用全部代数方法，这样带来极大的方便。

二、练习坐标系的转化

空间建立了坐标系，空间的点就有了坐标，线或者向量就可以用它的坐标（三维数组）表示，这就是向量的代数表示。比如空间四面体对边中点的连线交于一点且互相平分，就可以用坐标计算来证明，而不是画辅助线通过几何途径来解决问题。

常见的是上面提到的笛卡尔直角坐标系，可是若空间图形直角不多，或者没有直角，那建立直角坐标系时点的坐标就不好写了，于是想到了反射坐标系。

取反射坐标系，以A为坐标原点，以AB为X 轴，BC为Y 轴，AD为Z 轴，则A点坐标（0，0，0），B点坐标（1，0，0），C点坐标（0，1，0），D点坐标（0，0，1），E点坐标（1/2，0，0），F点坐标（0，1/2，1/2），G点坐标（1/2，1/2，0），H点坐标（0，0，1/2），M点坐标（1/2，0，1/2），N点坐标（0，1/2，0），则EF中点为（1/4，1/4，1/4），MN中点为（1/4，1/4，1/4）重合，所以互相平分，交于一点得证，用事实说话即可证明结论正确。

三、学会总结，提升自己的数学修养

几何问题一直是高考的难点，碰到几何问题，特别是证明，更是难上加难，如果能巧用代数计算替代证明，那会事半功倍，毕竟解方程我们做了很多年，很方便。

比如，求椭圆柱面x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）上，过x轴并且与此椭圆柱面的交线是圆的那个平面方程。

如果设成带系数平面方程，根据已知条件求系数，那就走弯路了，换个思路，交线圆可以看成以原点为中心，以a为半径的球面与已知椭圆柱面的交线，即交线圆方程为x2+y2+z2=a2，x2/a2+y2/b2=1；这个圆在过x轴的平面上，所以它对于yoz平面的投影平面就是所求平面。确定好思路，计算上表现为从上述二式中消去 x 得y2=Z2×b2/（a2-b2），两边开根号即可得到所求的平面y=±Z×b/。

这种思路简单些，但不容易想到。就是求平面方程看成是圆的投影直线，投影在三维空间就是平面，这种知识的迁移能力是慢慢培养的。笔者坚信，高考的个性化发展会给学生的思维提供更多放飞的空间。

高中几何的半壁江山全靠辅助线当家，如果引入空间解析几何的观点，或许会为解决综合题提供更多的思路。教材与软件结合能解决更多的空间图形展示问题。

参考文献：

[1]李智.例谈转化思想在立体几何教学中的运用[J].新课程研究（基础教育），2009（6）.

[2]吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，1992.