《拉格朗日乘数法及其在实际问题中的应用举例》微课教学设计

王艳艳　滕毓发

摘 要 首先通过实际问题引入条件极值，然后通过对引例的极值点的几何特征进行了探究，得到在极值点处目标函数与约束函数的梯度平行，并在一般情形下进行了理论分析，基于梯度推导出拉格朗日函数，把条件极值转化为无条件极值，最后利用拉格朗日乘数法解决实际问题。

关键词 梯度 拉格朗日乘数法 条件极值

中图分类号：O29 文献标识码：A

《拉格朗日乘数法及其在实际问题中的应用举例》微课，笔者在2017年全国高等数学微课大赛中获得了华东赛区一等奖，本次课以问题为牵引，学员为主體，重在启发、引导学员发现、分析并解决问题，进而培养学员严谨、细致、创新的思维品质。现将教学过程呈现如下：

【应用引入】 如今网络购物正以迅雷不及掩耳之势影响着我们的生活，作为理性消费者，在条件许可的范围内如何追求效用最大化；再比如在选择材料设计空间探测器时，如何计算飞行器的最高温度？我们都可以使用拉格朗日乘数法来解决。

引例：如果矩形的对角线为2，则矩形的最大面积为多少？

分析：求函数最大值。条件：点必须在对角形曲线上。

1问题提出

条件极值的一般形式：约束条件：

问题：如何求得极值？

2问题分析

引例：

首先画出对角线方程的曲线，当点P沿四分之一圆周运动时，对应面积不同的取值，实际上这些双曲线就是函数的等值线。通过观察，我们可以发现：在圆周与等值线的交点处对应的函数值，显然比切点处对应的函数值2要小，而比2大的等值线上的点却不在圆周上。所以，切点对应的函数值就是面积的极大值，极值点就是切点！

在点等值线与圆周相切，从而等值线的法向量与圆周的法向量平行，也即它们梯度在极值点平行！那么这一结论是否适用于一般的条件极值问题呢？

考察在约束条件下，在点处取得极值的必要条件。

假设在点的邻域内，和均有一阶连续偏导数，也即他们对应的曲线都是光滑的，，由此可以确定一个连续且具有连续导数的函数，把它代入目标函数，问题转化为求解这样一个一元函数在点取得极值的必要条件。从而在处的导数等于0，而是复合函数，由链式求导法则

这个式子相当于这样两个向量的数量积等于0，它表示在极值点，f的梯度与约束条件的切向量垂直，的梯度也与切向量正交，所以f的梯度与的梯度平行，说明这个结论对于一般条件极值问题也是成立的！

那么如何求解函数的极值点呢？从这个结论出发，我们继续进行探究：两个向量平行的充分必要条件是什么呢？存在，使得的梯度等于乘以的梯度，为什么加一个负号呢？

我们把等式右边移到等式左边，再利用梯度算子的性质，式子可以写成在的梯度等于0向量。如果前面比例常数是，这里就会出现，所以我们在前面加了一个负号。由此构造辅助函数： ，它在极值点的梯度等于0向量，那么极值点一定L对x的偏导数等于0，L对y的偏导数等于0的这两个方程，同时也满足=0，那么方程组解出的就是可能的极值点，也即驻点。

由此引出Lagrange乘数法，并介绍数学家拉格朗日的故事，激励学员勇于克服困难。

最后介绍拉格朗日乘数法的一个应用：某卫星发射中心发射一空间探测器，探测器表面的方程为，由于空气摩擦，发射后，其表面开始受热，一小时后其表面温度为。求此时探测器表面最热的点。最后请学员总结拉格朗日乘数法解决问题的步骤，并给出思考题：某野外景区发生旅游者失踪事故，根据旅游失踪人员最后出现或与搜索人员练习的时间地点特征，以及旅游者移动速度，确定了五个区域，请问：如何在多种搜索资源限制下，求出找到失踪人员的最大概率？

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学第六版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 张帆，刘颖.基于最优搜索理论的失踪旅游者搜救模型研究[J].世界科技研究与发展，2008，30（02）：93-95.