解题教学应教会学生怎样“研题”

摘 要： 学生解题能力的培养可依据波利亚的解题理论，给学生搭建“如何解题”的“支架”，促进学生对“解题策略”的深入理解，形成解题的“技术路线图”，进而能够“研题”。“研题”过程可分为四个阶段：理解题目、拟定方案、执行方案、回顾反思。高中数学解题教学应提供具有探究性的问题，应重在培养学生的思维能力，应体现策略指导。

关键词： 解题教学；研题；解题策略

解题教学是高中数学课堂中一种常见的教学形式，它承载着实现高中数学教学教育目的的重要任务。在高中数学教学中，经常会出现以下现象：学生做了许多的题目，但考试遇到类似的问题却不会解。为什么学生遇到类似的题目不会进行方法的迁移？为什么遇到新题和难题不会进行探究与创新？造成这种现象的原因是学生在平时的解题过程中不会“研题”，导致了学生没有形成自主解题的思维方式和思维方法，即没有形成自主解题的能力。

一、 波利亚的解题理论与“研题”

美国数学家和教育学家G·波利亚在《怎样解题》一书中揭示了人们在解题过程中的一般思维活动，并形成了“怎样解题表”，在该表中，波利亚把解题分成理解题目、拟定方案、执行方案、回顾四个阶段，并提供了丰富的案例进行阐述。

在高中数学解题教学中，教师可依据波利亚的解题理论，通过“问题”或“问题串”的方式，激活学生已有的知识，让学生从简单“模仿”到会“解题”，并逐渐形成“理解题目——拟定方案——执行方案——回顾反思”的研题技术路线图。

二、 教学设计案例

如图1，已知四棱锥P ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点。

（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；

（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值。

1. 理解题目，合理转化

理解题目是解决问题的前提，你必须知道题目的已知是什么，未知是什么，进一步还要挖掘题目的已知条件和要解决的问题，并把题目的已知和未知进行合理的转化。

（1）已知条件有哪些？

（2）由题目条件可以推导出哪些“新条件”？

（3）要解决什么问题？

（4）求解需要哪些结论？

2. 消除差异，拟定计划

在充分理解题目基础上，寻找已知和未知之间的联系，逐渐消除已知和未知之间的差异，寻找解决问题的方法。

（1）转化求解。可把问题转化成CE的平行线与平面PBC所成角。

（2）等体积法解题。利用等体积法求得点E到平面PBC的距离，从而求解。

（3）向量法解题。建立空间直角坐标系，利用坐标法求解。

3. 执行方案，展示过程

良好的解题素养一个重要的体现是如何把解题过程表达得严谨且简洁。

解法1：如图3，分别取BC、AD的中点M，O，连接PO交EF于点N，连结MN，易证CE∥MN。

过点N作PB的垂线，垂足为H，连接MH，可得直线CE与平面PBC所成角∠NMH的正弦值是 2 8 。

解法2：由VE-PBC=VN-PBC=VC-PBN，得h= 1 4 ，所以sinθ= h CE = 2 8 。

解法3：建立空间直角坐标系如图4所示。可求平面PBC的法向量m → =（1，0， 3 ），则sinθ=|cos|= 2 8 。

4. 回顾反思，自觉分析

通过回顾解题的过程以及对题目的拓展，使学生对本题能夠有较深刻的认识，引导学生从解题的“记忆模仿”阶段逐渐地进入到解题的“自觉分析”阶段。

（1）本题的难点在哪里？如何突破？

条件PC=2的使用是难点，用好这个条件是找到解题突破口的关键。

（2）如果读不懂图形，还有其他办法吗？

按图5建系，设P（x，y，z），由线段PA、PC、PD的长度解出P的坐标，然后求解。

（3）问题的基本模型是什么？如何变式和拓展？

基本模型1：如图6，在△ABC中，AC=BC，将△ABC沿AB旋转至△ABD，O为AB中点，连接OD，OC，则∠COD为二面角C-AB-D的平面角。

基本模型2：如图7，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线l（库底和水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d，则库底与水坝所成二面角的余弦值为： a2+b2+c2-d2 2ab 。

在弄清基本模型的基础上，适当改变条件或结论，深化对题目的认识。

（4）反思本问题的解决过程，你对解题有何认识？

引导学生总结一般意义上的解题策略和方法。

三、 高中数学解题教学的几点思考

1. 解题教学应提供具有探究性的问题

探究性主要体现在题目难度适当，解题方法的寻找需要实验和探索，题目的答案不必唯一，学生经过一定的思考和付出可以有所收获。在上述解题教学过程中，从高考真题出发，设计一系列的“问题串”，就像给学生搭建了一个个“脚手架”，学生在攀登“脚手架”的过程中解决了问题，获得了知识，锻炼了思维。

2. 解题教学应重在培养学生的思维能力

思维能力是学习能力的核心，在高中数学解题教学中，应通过各种方式培养学生的思维能力。在上述解题教学过程中，引导学生从多个角度，用多种方法进行解题，拓宽了学生的思路，培养了学生思维的广阔性，对题目进行了适当的变式，培养了学生思维的灵活性，同时，对题目的“题根”进行探究，体现了思维的深刻性。

3. 解题教学应体现策略指导

高中数学解题教学不但要教会学生解一道题，还要教会学生解一类题，更要教会学生解决一般问题的步骤与策略，即会“研题”。在上述解题教学中，教师提供具有指导性和启发性的问题，学生在解题教学活动中逐渐地掌握解题的“技术路线图”，从而达到“研题”的水平。

参考文献：

[1]涂泓，冯承天译.（美）G·波利亚著.怎样解题[M].上海科技教育出版社，2007.

[2]罗增儒.中学数学解题的理论与实践[M].广西教育出版社，2008.

作者简介： 李福彬，浙江省台州市，浙江省三门中学。