数学建模与高等数学教改刍议

陈峰芳

摘 要：在我国高等教育快速发展之际，作为高等教育的一个重要组成部分，高等数学的教学改革也势在必行，培养学生应用数学的意识和能力也已成为数学教学的一个重要方面。数学建模的教学与竞赛是实施素质教育的有效途径，它既增强了学生的数学应用意识，又提高了学生运用数学知识和计算机技术分析和解决问题的能力。

关键词：数学建模 教学 竞赛

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2018）09-0-02

引言

教育在综合国力的竞争中处于基础地位，因此为了更好的适应现代快速发展的社会主义市场经济的需要，跟上新世纪现代科学技术发展的脚步。江泽民总书记在全国科学大会上指出：创新能力是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。一个没有创新能力的民族，难以屹立于世界前列。高等教育肩负着培养数以千计的高素质专门人才和一大批拔尖创新人才的重要使命。提高高等教育质量，既是高等教育自身发展规律的需要，也是建设创新型国家构建社会主义和谐社会的需要。培养学生创新思维对提高高等教育质量起着举足轻重的作用。培养学生独立思考和创新实践的能力，是新形势下高等教育教学改革的重要内容和关键点[1]。数学建模的教学及竞赛正是在这种条件下应运而生的，是实现这个目标的一种新的、行之有效的方法和手段。

一、数学建模竞赛的起源与历史

在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（简称Putnam普特南数学竞赛），它是由美国数学协会（MAA）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每试6题；每试各为3小时，在次年的美国数学月刊上刊出竞赛小结、奖励名单、试题及部分题解。这是一个历史悠久、影响很大的全美大学生数学竞赛，自1938年举行第一届竞赛以来已经近50届了。主要考核基础知识和训练、逻辑推理及证明的能力、思维敏捷、计算能力等。试题中很少应用题，完全不用计算机，是闭卷考试的。竞赛是由各大学组队（每队三人）自愿报名参加的，得奖队多为名牌大学的数学系。普特南数学竞赛在吸引青年人热爱数学从而走上数学研究的道路，鼓励各数学系更好地培养人才方面起了很大作用，事实上一批优秀数学家就曾经是它的获奖者。但最后为什么会产生另一个数学模型竞赛的呢？根据美国一些数学家的看法主要有以下几个因素：

1.参加普特南数学竞赛是要有一定训练的，而很多学校的参赛队员功底差、受训时间短、没有经验，因而参赛成绩差，影响了积极性。

2.相当多学生对数学的实际应用较为兴趣，因而对普特南数学竞赛缺乏积极性。

3.为了反对现行高等数学教学中過分强调纯粹性、形式方法、缺乏应用内容的倾向。

4.普特南数学竞赛不用计算机。

5.对数学的看法：有人认为应用数学、计算数学、统计数学和纯粹数学一样是数学研究和数学课程教学的重要部分，它们是一个有机的整体。有人形象地把这四者表为一四面体的四个顶点（见右图，P表示纯粹数学，A表示应用数学，C表示计算数学，S表示统计数学），棱和面表示学科的“内在联系”，例如应用线性代数、数值分析、运筹学等，而该四面体即数学的整体。

因而自1983年以来有人产生了应该有一个普特南应用数学竞赛，经过论证、讨论，争取资助的过程，终于于1985年开始了第一届数学模型竞赛。1985年美国工业与应用数学学会和美国运筹学会联合主办了美国首届大学生数学建模竞赛，在国际上产生很大影响，现已成为国际性的一项著名赛事，每年一次。

我国于1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加MCM的结果表明。中国大学生在数学建模方面是具有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更为广泛地展开，1990年中国工业与应用数学学会和国家教委联合主办了全国大学生数学建模竞赛（简称CUMCM）。该项赛事每年9月进行。其宗旨是：创新意识、团队精神、重在参与、公平竞争。自从创办以来，在教育部高教司和中国工业与应用数学协会的大力支持和关心下，日益呈现出迅速发展的强尽势头。可以说：数学建模已经成为全国高校规模最大的课外科技活动。

二、开展数学建模竞赛的意义

1.促进相关学科的交叉、融合，培养知识面宽的复合型人才

数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础、敏锐的洞察力和想象力、对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。

2.在应用中培养学生应用数学知识解决问题的意识和能力

能力的培养是素质教育的重要组成部分。通过数学模型的具体实例的反复引导，让学生不再害怕数学的抽象，而且看到数学是怎样从生产实践中“抽象”出“共性”的， 也就是数学“源于实践又服务于实践”的本质特征。利用这一过程培养学生从纷纭复杂的实际问题中抓住实质的能力（ 抽象能力和洞察力），让学生看到什么情况下可以用数学知识解决问题及怎样用数学知识解决问题， 在潜移黙化中逐渐培养学生应用数学知识解决问题的意识和能力， 使他们在今后的工作和学习中， 当遇到可以定量决策的问题或可以转化为定量决策的问题时， 能自觉地求助于数学知识， 进行科学的量化分析。

3.增强了参赛人员的团队协作能力

团队协作能力是一个人综合能力中很重要的一个方面，无论在学校还是在企业，完成一件任务往往需要多个人配合在一起，分工合作，群策能力，共同完成。数模竞赛同样是这样一份工作，三名参赛队员组成一个团队，队员之间要有分工、有合作，三个人中还要一个领导者负责团队整体思路，一旦出现队员意见不一致时，领导者作出决定。这样的团队保证了解决问题思路的“多样性”和“一致性”的统一，锻炼了团队协作意识。

4.数模竞赛的挑战性， 能激励创新精神

数学竞赛全过程为三天三夜，团队面对的是一个实际的科研题目，在这么短时间内，完成题目的分析、模型的建立和求解、模型的优化并且给出结论是一件工作量相当大的任务。团队成通过查阅资料、讨论方案，在一种“忘我”的工作状态下完成竞赛。正如许多参赛选手感慨的那样：“数模竞赛让我在三天内编完了一年内不可能编出来的程序。”

三、数学建模对高等数学教改的启示

1.高等数学的现状及存在的主要问题

大学数学教育的根本任务就是要通过教学活动让学生学习掌握数学的思想、方法和技巧，并能学以致用，初步具备自学所需要的更深入的数学的能力[2]。关于高等数学教育改革问题，在改革开放以来， 中国新世纪的长远、宏大的发展目标确定以后， 教育作为国家经济实现可持续发展伟大战略之一， 高等数学教育必须改革已成为专家、学者和广大教师的共识。从上世纪80 年代初开始， 这项改革已实质性地展开。例如陆庆乐教授主持的“全国工科高等数学课程改革指导委员会”做了大量而长期的富有成效的工作， 不少有识之士也作了大量有益的探索， 取得了一些成果。但总的来说， 还是说的多做的少： 局部表面的结论多， 普遍深入的成果少[3]。我国的数学教育现状与数学的发展及整个社会对数学教育的期望和要求还很不协调. 就工科数学教育而论， 至少存在以下问题：

1.1应用数学面临的基本矛盾

应用数学的基本使命是把纯粹数学获得的成果和方法应用于实践，具体地说是应用于科技和社会，最终服务于人类，真正为人类社会的进步做出贡献。纯粹数学是量化的、符号化的、抽象化的东西，而客观世界不是以量的形式存在的，不是直接以逻辑符号形式存在的，即使抽象事物也不是以数学语言反映在人们脑子里的，这就决定了纯数学与纯实践之间虽然有着“逻辑”把它们联系起来，但形式上看除此之外，似乎两者都是矛盾的。

1.2课程结构不够合理. 各门数学课程自成一体，相互封闭，且由于条块多， 使学生很难对数学的整体结构有一全面的了解。同时，各门课程不能很好地衔接、补充， 造成相关内容的重复和割裂。

1.3 数学的应用性反映不足。现有的数学模式过分强调了理论性、系统性及数学的严谨性， 忽略了数学的应用性及数学的背景和实际意义. 且由于学时少、内容多， 师生共同赶进度， 想严格又严格不了， 只好牺牲应用、计算， 学生的学习兴趣不高， 数学学习进入一种不良循环.

1.4教学方式单一。我们的教学管理者习惯于用教学大纲、教材内容和教师讲课的仔细程度作为检查教学水平的标准， 而很少把学生真正理解并掌握了多少数学知识作为尺度；我们的教师热衷于告诉学生面面俱到的知识， 但不知如何用最少的语言启发学生自己学习和思考的能力； 我们常常用学生的考试分数来衡量学生的学习效果和成绩， 而不注意考察学生的学习过程和考核学生的认知能力。

1.5 在教学内容上过分强调了形式化和严格化的东西， 注重严密的逻辑推理和解题技巧， 而忽视了数学教育最本质的东西应是直观化和形象化。

1.6现代技术主要是计算机和大量应用软件的产生对传统的数学教育形成了巨大的冲击。一些历史上与数学渊源较深的学科， 应用计算机即可以快捷地解决以前十分复杂的数学计算问题. 然而， 我们的数学教育（无论是内容还是方法） 却仍然固守传统， 与现代技术的发展极不合拍。

2.对高等数学教改的启示

2.1转变教育思想

为了改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主、以知识传授为主的传统教学模式，数学建模教学指导思想是以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望、培养他们的自学能力，增强他们的数学素质和创新能力，提高他们的数学素质，强调的是获取新知识的能力，是解决问题的过程，而不是知识与结果。参加数学建模竞赛赛前培训的同学大都是需要学习诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、层次分析法，数学软件包的使用等等“短课程”，用的学时不多，多数是启发性地讲一些基本的概念和方法，主要是靠同学们自己去学，充分调动同学们的积极性，充分发挥同学们的潜能。

2.2明确教育目标

学生的实践能力是所有学科人才培养质量的重要标志，当然对于我们数学学科也是不例外的。“实践能力”不只是指动手能力，它应该包括三个方面的内涵：第一是实践思维即学生在思想方法上应该重视实践；第二是实践的知识，特别是实践的专业基础知识；第三才是学生的实际动手能力。另外。工程实践能力还应该包括工程科研能力和解决实际工程问题的能力。建立数学模型一般要经过三个步骤：明确问题、建立模型、求解檢验。数学模型的探索，并没有现成的普遍适用的准则和技巧，它需要成熟的经验见解和灵巧的简化手段，需要合理的假设，丰富的想象，敏锐的直觉判断。其中每一步骤的进行都富有开拓性，充分展现建模者的创造性思维水平。因此数学模型课不单是单纯的知识传授课，而是一门能力训练课。

2.3切实理论联系实际

数学应来源于实践又应用于实践，达到理论与实践的有机结合。我国著名数学学华罗庚曾指出：“人们对数学产生枯燥无味、神秘难懂的印象，原因之一就是脱离实际。”这句话不仅指出了数学教育脱离实际的危害性，也为我们指出了数学教育改革的方向——密切联系实际，而数学建模课程正是理论与实践想结合的课程，其内容都是来自于日常生活、工程技术及经济管理等领域的研究课题，而且其教学过程是师生共同参与的，学生可以在不断的探索过程中体会到“发现问题”、“发明创造”及“获得成功”的喜悦，这必然会提高他们学习数学的浓厚兴趣和积极性。

2.4构建建模教学安排

数学是研究模式的科学，现代高等数学教育的主要任务，就是要让受教育者能够积极主动学到“应用数学模式”、“分析数学模式”、“创制数学模式”乃至“鉴赏数学模式”的能力和素质。因此，数学模式建构的思想与方法论，应该成为数学专业师生们共同关注的教学题材，学习这种题材也正是培养学生创新能力不可缺少的环节。开设数学建模系列课程，把数学建模的培训逐步纳入正常的教学当中，提高全校学生的数学素质·将“数学建模”作为全校性选修课（约45学时，3学分），常年开设，每周一次，每次3学时，每次讲授或研究一个专题，在教学方法上，改变老师教学生学的“添鸭式”被动教学，不以教会一个定义、证明一个定理、解一道数学习题为目的，而在教学中逐步渗透数学建模的思想，逐步增加“开放型应用题”，同时着意培养学生提问题的习惯和能力，让学生尝试“实际问题数学化”的过程。

2.5提高师资水平

数学建模活动的开展，在一定程度上弥补了数学教师不懂工程问题和经济问题的缺陷，使其在教学过程中能把工程问题及经济问题和数学问题有机地结合起来，激发学生的学习兴趣，提高教学效果，同时由于数学建模问题通常是很复杂的实际问题，没有现成的方法也没有最好的结果，对教师而言也是一大难题，这势必会促进教师不断学习、提高水平。

结论

在全面提倡素质教育的今天，培养学生的创新思维已成为时代赋予高等教育工作者的神圣使命。数学建模也以其独特的优势，在现今的教育机制中逐渐突显出重要性。数学大师康托尔说过：“数学的本质在于它的自由。”愿我们能够插上数学的翅膀自由地飞翔，在更多的实际应用中通过我们的智慧播撒数学的芬芳；也希望高等数学的教改之路能够走的更好更有效。

参考文献

[1]王国胜/白浩.倡导启发式教学.培养学生创新思维[J]中国高等教育，2008年第8期

[2]李晓毅，徐兆棣.从数学建模竞赛看数学课程改革[J] 沈阳师范大学学报，2007年1月

[3]陆 斌.对高等数学教育改革的探讨[J]高校理科研究 2006年12月