基于Stephenson—Newton迭代的剃齿啮合角的数值计算

张振军 于乐毅 杨鑫 惠坤龙

摘 要：为了改善剃齿刀修行技术中的“中凹”现象，对于剃齿系统进行参数优化推导出一个超越方程，利用最新的Stephenson-Newton迭代对其进行数值计算，可以起到收敛速度快、近似解相对精确等优点，取得最为合理的最佳啮合角。

关键词：啮合角；初始值；Newton迭代；误差容限

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.17.196

0 引言

齿轮是传递动力的重要零件，用途非常广泛，剃齿修形直接决定着齿轮质量等，本文通过对啮合角进行数值计算加以提高剃齿修行的效果。

1 啮合角理论分析

1.1 剃齿工艺的“中凹”现象

剃齿过程中，随着齿面接触过程中的齿数变化造成其接触点的数量也是在变化，其受力接触面的不同，导致剃齿机在剃齿过程中，齿腹根部和节圆附近的切削量不同，导致剃齿齿廓齿形中的“中凹”现象的发生[1]。

1.2 剃齒刀修形的啮合角

1.2.1 啮合角的计算公式

根据齿轮啮合原理：

1.2.2 史蒂芬森-牛顿类迭代公式

若方程，方程在在其零点处的领域内连续可微并且 ，若为方程的近似解，根据牛顿迭代法序列，应用欧拉公式等，得出史蒂芬森-牛顿类迭代公式：

1.2.3 齿轮的参数设置

根据齿轮参数设计优化结果可知，加工齿轮的参数为：齿数，法向模数，分度圆法向压力角，分度圆螺旋角，分度圆法向弧齿厚，渐开线终止点曲率半径，渐开线起始点曲率半径。剃齿刀参数为齿数，法向模数，分度圆法向压力角，分度圆螺旋角，分度圆法向弧齿厚。

将方程式代入得到：

2 计算结果

根据经验得知，选择啮合角的初始值X0=0.3316，误差容限为10-4。本文数值计算是为了提高啮合角的精确度，又要迭代次数尽量减少，最优解的精确度要提高[2]。

根据MATLAB的计算结果，在第97次的迭代次数时，跳出数值计算，在最后的最佳近似解，为0.331693，符合实验的数据。

3 结论

（1）通过参数的优化和经验得出了啮合角的超越方程，通过比较数值计算我们得到了一种更简洁、准确的迭代计算。

（2）建立了Stephenson-Newton迭代取得相对精确的最优解。

参考文献：

[1]陈世平.剃齿加工齿形中凹误差分析[J].现代制造工程，2002（10）

：52-53.

[2]蔡安江.剃齿加工齿形误差的研究[J].西安建筑科技大学学报（自然科学版），2007（10）：730-734.

科研项目：西安石油大学2016大学生科研训练项目资助。

作者简介：张振军（1986-），男，陕西西安人，工程师，硕士研究生，主要从事齿轮动力学研究。