探究数学分析思想在高中数学教学中的应用

刘建华

摘 要：数学分析思想能够有效的提高学生的解题能力和数学成绩，因此高中数学教师应当注重数学分析思想的教授。本文通过探析在高中数学教学中数学分析思想的应用，分析目前几种最为常见的数学分析思想，并通过数学例题加以论证。

关键词：数学分析思想 高中数学 教学 应用

一、正向思维法

正向思维法是高中数学教学过程中最为常用也最为简单的一种数学分析方法，学生只要根据题意，结合数学公式和知识点进行思考解题即可得到正确答案，虽然正向思维方法是高中数学教学过程中最为简单、普遍的一种解题方法，但是它很实用，能够在高考中为学生取得大部分的分值。[1]

在高考数学卷子中，题目的难度类型按易、中、难划分为三个档次，其中“易”的题目数量最多，占得分值也最大，“中”其次。“难”最少，只有不到10%的分值分布。“易”档次的题目是能够通过常规的思想简单的套用数学公式和知识点就能够解出答案的，学生在解这些题目时不需要绕太大的弯子，只需要运用常规的解题分析方法分析和正向思维就能够得到题目的答案。

例：已知函数f（x）=x的平方-2ax+5在[负无穷，2]上是减函数，且对任意的x1，x2属于[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|小于等于4，则实数a的取值范围为多少？[2]

解：f（x）=x?-2ax+5在（-∞，2]上是减函数，所以对称轴x=a在区间的右侧，

即 a≥2， 从而 f（x）在[1，a]是减函数，在[a，a+1]上是函数，由于a≥2，故在区间[1，a+1]上，x=1离对称轴最远，从而在[1，a+1]上，f（x）的最大值为f（1）=6-2a，最小值为f（a）=-a?+5 从而|f（1）-f（a）|≤4，即|a?-2a+1|≤4，|a-1|≤2 ，-2≤a-1≤2

-1≤a≤3 从而 2≤a≤3。从这题的解题思路我们可以发现，学生只要顺着题意一步步来就能够得到这题的正确答案。[3]

二、逆向思维法

高中数学学习对学生思维的灵活转换的要求比较高，学生在解数学题的过程中需要不断灵活的转换思维方式对数学题目进行分析。逆向思维方式属于发散性思维，在碰到运算量很大且正面解题难度较大的题目时，运用逆向思维法往往能够取得事半功倍的效果。

例：若a3+b3=2求证a+b≤2

解：假设a+b>2，则a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）>2（a2-ab+b2），而a3+b3=2，所以（a2-ab+b2）<1，所以1+ab>a2+b2≥2ab，从而ab<1，所以a2+b2<1+ab2<2，所以（a+b）2=a2+2ab+b2<2+2ab<4，所以a+b<2，这与假设矛盾，故a+b≤2。这题就是运用逆向思维的思想来解题，当直接证明a+b≤2比较困难时，可以逆向思维，假设一个结果成立，然后逆推，最后得出与题干条件不符的结果来进行证明。[4]

三、类比和归纳法

类比归纳法是高中数学中常用且实用的一种解题思维方法，它是将两个相似的事物从本质上或从形式上进行类比，寻找共同点，然后将事物根据共同点进行分类和归纳。在解数学题的过程中，学生需要采用类比和归纳的方法来对题目进行分析，寻找解题线索进而得出答案。数学类比和归纳法需要学生掌握大量的数学知识点，需要学生通过平常的有意识的训练和总结经验，熟练的掌握这种数学思维方式。就高中阶段来看，类比和归纳法是一种行之有效的数学解题分析方法，能够有效的提高学生的解题效率，使学生在面对难题是不至于无从下手，类比和归纳法能够给学生提供一种寻找解题线索的手段，能够有效的提高学生的数学解题能力。类比和归纳法不仅仅对数学学科有效，在其他学科的学习上也能起到很大的帮助，

例：12.已知函数f（x）=m（x+1x）的图象与h（x）=14（x+ 1x）+2的图象关于点A（0，1）对称.

（1）求m的值；

（2）若g（x）=f（x）+a4x在（0，2]上是減函数，求实数a的取值范围.

解：（1）设P（x，y）是h（x）图象上一点，点P关于A（0，1）的对称点为Q（x0，y0），则x0=-x，y0=2-y.

∴2-y =m（-x-1x），

∴y=m（x+1x）+2，从而m=14.

（2）g（x）=14（x+1x）+a4x=14（x+a+1x）.

设0

则g（x1）-g（x2）=14（x1+a+1x1）-14（x2+a+1x2）

=14（x1-x2）+14（a+1）·x2-x1x1x2

=14（ x1-x2）·x1x2-（a+1）x1x2>0，

并且在x1，x2∈（0，2]上恒成立，

∴x1x2-（a+1）<0，∴1+a>x1x2，1+a≥4，∴a≥3.

在求解本题第二步骤时就需要运用类比和归纳法，通过g（x）=f（x）+a4x与y=kx+b的标准方程式进行类比，可以将g（x）=f（x）+a4x变形为g（x）=m（x+1x）+a4x，将看起来陌生且复杂的等式简化成简单的函数式进行求解。

结语

数学分析方法的教授是高中数学教学中的重要部分，对提高学生的成绩和解题能力具有重要的作用。本文主要介绍了目前高中数学教学中最为常用正向思维法、逆向思维法和类比归纳法等三种数学分析思想，以及数学分析思想的应用情况。在高中数学教学中，教师不仅仅只是教授数学公式和知识点的定义和运用，还需要在日常的数学教学活动中有意识的对学生的数学思想进行培养和训练，让学生自己学会数学思维分析方法，让学生学会自己独自的思考和分析问题，提高学生解数学题的能力。让学生在日后考试过程中面对难题时能够得更加心易手的解这些数学题。

参考文献

[1]数形结合思想在高中数学教学中的应用与分析[D].胡玉静.信阳师范学院2015.

[2]类比思想在高中数学课堂教学中的应用研究[D].肖娜.华中师范大学2014.

[3]数学思想方法教学在创新数学教育中的应用研究[J].谭莉. 赤峰学院学报（自然科学版）.2013（23）.

[4]浅论如何培养学生数学解题的创新思维[J].袁双华. 科技创新导报.2016（35）.