三等份线段的尺规作图

李明桂

摘 要：三等分线段尺规作图是中学数学中尺规作图的三个不能之一，对这个命题的成立性有点怀疑，能否从构造线段的三分之一长线段来解决这个问题，通过研究对应线段成比例两直线平行，平行线分线段成比例定理构建线段的三分之一，分构造点在线段的上方、构造点在线段端点的正上方、构造点在线段的反向延长线三种情况，解决一般性的问题，从而解决这个数学难题。此作法可推广任意等分线段。巧妙利用三角形的重心分中线为上二下一的特性，找出线段的三等分点，解决线段三等分的难题。

关键词：三等分线段 尺规作图 任意等分线段

研究成果报告：

1.在尺规作图中，有三个尺规不能的问题——三等份线段、三等份圆弧、三等份角。在学习的初期，对此结论深信不疑。但在随后的教学中，发现这个结论存在疑问。在学习了平行线分线段成比例和对应线段成比例两直线平行后，发现可以从寻找线段的三分之一长来解决这个问题，这种方法是三等份线段尺规作图的一般作法。

2.在學习了三角形的重心的性质后，发现三等份线段尺规作图的简洁作法，这种方法是三等份线段尺规作图的特殊作法。

3.三等份线段尺规作图的一般作法可以推广到任意等份线段的尺规作图。

4.此项研究的意义在于对数学观点的质疑，推动数学的发展。

研究成果内容：

在数学教学中，对尺规作图平分线段、平分已知角、直线的垂线进行了详细的解析，并提出尺规作图不能三等份线段的观点，多年来一直对此表示怀疑。在对平行线分线段成比例和对应线段成比例两直线平行研究后，思考能否采用寻找线段的三分之一的方法解决等份问题。

研究一：已知线段AB，求作线段AB的三等份点，﹙辅助线与线段成锐角﹚图示1

①以线段AB 的端点A为顶点作射线AC；②在射线AC上依次截取AA1=A1A2=A2N；③以N为圆心，AN为半径作圆交线段AB所在的直线于M点；④在线段MN上分别截取MC1=C1C2=C2N=AA1；⑤连结A2C2、NB，两线段所在的直线交于P点；⑥以A2P的长为半径，分别以A、B为圆心作圆，交线段AB于D、E两点；⑦点D、E就是线段AB的三等份点。

研究二：已知线段AB，求作线段AB的三等份点，﹙辅助线与线段成直角﹚图示2

①作线段AB的垂线AC；②在射线AC上依次截取AA1=A1A2=A2N；③过A1、A2依次作射线AC的垂线A1M、A2P；④连结NB，分别交直线A1M、A2P于C1、C2点；⑤以A2C2为半径，分别以A、B为圆心作圆，交线段AB于D、E两点；⑥点D、E就是线段AB 的三等份点。

研究三：已知线段AB，求作线段AB的三等份点﹙辅助线与线段成钝角﹚图示3

①以线段AB 的端点A 为端点作射线AN；②作射线AN 上依次截取AA1=A1A2=A2N；③以N 为圆心AN 的长为半径作圆交线段AB的反向延长线于M 点；④分别以M、N为圆心AA1的长为半径作圆交线段MN于C1、C2点，连结A2C2、NB，设两直线交于P点；⑤分别以A、B 为圆心A2P的长为半径作圆交线段AB于D、E两点；⑥点D、E就是线段AB 的三等份点。

通过上述的研究表明，只要所作的射线和已知直线不在同一条直线上，都可以对线段进行三等份，这种方法可推广求已知线段的任意等份点。

研究四：已知线段AB，求作线段AB的三等份点，图示4

①过A点任意作一条直线l，（和直线AB不重合）；②在直线l上截取AP=AQ；③连结BQ、BP；④作线段BP 的中点M；⑤连结QM交线段AB于点D；⑥以B为圆心，AD的长为半径作圆交线段AB于点E；

⑦D、E就是线段AB的三等份点。

这种作法是利用三角形的重心的特殊性质对已知线段进行三等份点。