利用多元化手段优化傅里叶变换教学

罗忠涛, 张 刚

(重庆邮电大学 通信与信息工程学院， 重庆 600065)

0 引言

傅里叶变换在数据分析与信息处理专业中有着重要地位和广泛运用，同时也是高等学校电子信息类专业基础课程“信号与系统”的重点和难点[1]。由于傅里叶变换具有知识抽象度高、数学公式多且枯燥的特点，学生理解起来感到很困难。由于对傅里叶级数、变换及频谱等认识不深，一部分学生采取死记硬背方式，其学习兴趣和效果差。

鉴于上述情况，运用多元化的教学手段来改革傅里叶变换授课方式显得十分必要了。比如近年新兴的微课和翻转课堂形式就是较好的教学方式[2～3]。

微课具有主体明确突出、内容短小精悍等特点，适合专门设计“傅里叶变换”主题课程。

翻转课堂将学生的被动学习转化为主动学习，使学生在主动操作中形成形象感性的认识。

此外，教学设计使用Matlab的GUI工具，制作实验软件实现任意波形的傅里叶分析，整个教学设计以方便友好的用户界面环境，详细完备的软件使用说明和演示视频，提升学生课程学习的兴趣，引导学生轻松地学习和正确地理解傅里叶变换知识[4]。

1 傅里叶变换授课内容

傅里叶变换实质上是将连续信号分解为不同频率余弦信号的加权和，该权值随频率的变化即为频谱。传统授课将本部分重点只放在傅里叶级数及变换的定义与性质、频谱和功率谱的特点上。教学实践表明，若无傅里叶变换的必要引入环节，学生对于傅里叶变换及其性质的理解也会变得困难且肤浅。缺少定性分析和感性认识的基础，对于傅里叶变换性质的定量分析和理性认识也难以持久。为建立对傅里叶变换完好的认识基础，我们将授课内容做了如下安排。

(1)从历史发展的角度简要介绍一下傅里叶的工作意义，由信号拟合这一简明主题引出傅里叶变换。学生从比较容易理解的余弦信号、时域及误差等概念起步，形成对傅里叶变换来源、用处和特点的形象认识。

(2)对具体周期信号进行傅里叶级数分析，使学生建立起时域信号和频域谱图的关联印象。以实偶信号为例，分析其虚指数型傅里叶级数，观察各谐波实部与信号波形的关系。

(3)增大周期信号的周期，让学生观察傅里叶系数的渐变趋势，加深对傅里叶变换的认识。注意引导学生由傅里叶级数系数概念转变到傅里叶变换频谱密度概念。

(4)对具体非周期信号进行傅里叶变换分析，认识连续频谱密度和频域积分；傅里叶反变换实现了满足狄利赫利条件的任意信号拟合，构成傅里叶变换对的整体认识。

(5)讲授虚指数型与三角函数型傅里叶级数、傅里叶变换及其性质、频谱与功率谱等相关知识，使学生能将数学公式与物理意义相结合，真正理解有关推导和公式。

第(5)部分内容理论性较强，适合采用传统的讲座式授课，一般采用文稿展示和板书推导。第(1)-(4)部分内容则是必要的铺垫，适合运用多媒体影像和互动实验等多元手段，吸引学生注意，切入教学主题，进入教学情境。

2 傅里叶分析实验与教学设计

傅里叶变换及其谐波与频谱概念的讲解，适合采用交互性强的软件仿真的实验方式。Matlab软件是国内外高校常见的实验验证和仿真工具，能够方便地使用和提高课程教学效率。基于Matlab GUI设计的傅里叶变换实验软件，源程序文件小，GUI界面友好，方便学生共享，且可采用deploytool打包为可执行文件。该软件具有三大功能：基本波形的载入、波形参数的设置以及信号的傅里叶变换分析。

软件界面简洁明了，如图1所示。

图1 傅里叶分析软件界面

软件实验功能与相应教学设计介绍如下。

2.1 傅里叶分析的功能

实验软件允许操作者可以选择想要载入的信号波形，这给予学生很大的操作空间。考虑到学生本身好奇心重，允许学生选择任意感兴趣的信号，通过软件来读取波形信号。其中一种方法是：将感兴趣波形绘制为一个像素图片；使用者在软件界面中，选择该图片文件并打开；编写的Matlab程序自动读取波形。

基础波形需要设置的参数有两个，即波形时长和波形点数，由此可确定采样频率。待分析信号由基础波形构成，主要设置三个参数：基础信号周期T、待分析信号参数P(信号时长TP=P×T)以及是否为周期信号。待分析信号时长TP越大，采样点数和运算时间增加，带来的好处是进行傅里叶分析的分辨率越高。

傅里叶分析输出的结果为多种信号时域和频谱图，不仅有常规的待分析信号与拟合信号对比图和频谱幅度图，还能特意地调整拟合精度和谐波次数来展示各次谐波的频率-时间-幅度的二维和三维图，如图2所示。这两种图可以很形象地表现出原信号、谐波信号、谐波信号频率及幅度(即频谱)之间的关系。

基于软件程序进行傅里叶分析和结果展示，教师和学生可以利用该程序，分析具体信号的傅里叶变换和频谱。结合软件功能元素，设计傅里叶变换的教学和实验内容。

2.2 傅里叶分析的功能

傅里叶变换的一个重要性体现在：基于虚指数

(a) 谐波二维图 (b) 谐波三维图图2 矩形波的傅里叶分析

函数的傅里叶变换，能够拟合满足狄利赫利条件的任意连续信号，从而给LTI系统中信号的表达、分析和处理提供了很大的便利。在确定x(t)之后，对其进行傅里叶分析。引入指数型正交函数集exp(jnw0t)，其中w0为基波角频率。傅里叶级数的复系数为

(1)

信号拟合由傅里叶复系数与正交函数集来实现。假设除直流分量之外，正负频率一侧各有K个谐波分量，此时拟合信号为

(2)

拟合信号与原信号的偏差，可采用偏差量的功率与原信号功率之比作为衡量的指标。

(3)

信号拟合过程可由原信号图与谐波分析的比较图动态展示。随着谐波个数K的增加，信号功率偏差减小，形象生动地说明了傅里叶当初提出的论断。由于二维图片的行与列幅度和个数均为有限，待分析信号必然满足狄利赫里条件，因此信号一定可以由傅里叶变换来拟合。

2.3 傅里叶级数渐变为傅里叶变换

傅里叶级数到傅里叶变换的转换，采用了极限的思想，是学生理解上的一个难点[5]。理论上，当信号周期趋近于无穷大而基波角频率趋近于零时，傅里叶级数系数概念变成了傅里叶变换谱密度的概念，即为傅里叶反变换。

(4)

实验软件可改变信号周期参数，动态观察傅里叶级数的渐变，使学生更容易接受傅里叶变换的由来，并理解其中蕴含的极限思想。实验设置信号周期呈指数增大，观察傅里叶频谱图和谐波谱图的变化。角频率间隔在等比例减小，频谱本身轮廓保持不变，傅里叶级数有效值频点变密，最终接近于面状。由此学生容易想象到，周期无限大的信号具有的傅里叶级数频点不再是离散值，而是连续值；傅里叶级数关于频点的函数是一个连续函数，故而傅里叶级数变成了傅里叶变换。

2.4 傅里叶级数与变换的频谱特点

傅里叶频谱特点可以结合软件实验来帮助学生理解。观察信号傅里叶分析的谐波图或谱图，可以归纳出周期信号和非周期信号的频谱规律。周期信号的傅里叶级数频谱有离散性和谐波性，非周期信号的频谱则是连续性和谐波性，共同点是基本要素为黑白条纹相间的余弦函数，不同点是频谱是否连续。该现象在谐波的频率-时间-幅度二维图上可以看得非常明显。信号参数P越大，待分析信号的时域TP越长，对其傅里叶分析的频率分辨率越高，频谱图细节也就越清楚。

二维图中灰度表示幅度大小。谐波的表现是对准角频率的各次谐波频率处、沿着时间维的余弦函数条纹。条纹黑白相间渐进变化，表示了余弦函数由负到正循环过程。条纹黑白变换频率表现了谐波频率绝对值；周期信号谐波离散性体现在其谐波幅度较大值有效值出现于基波频率整数倍的位置；非周期信号频谱连续性体现在其谐波幅度幅度变为渐进连续。换句话说，周期信号在特定的频率上才有横条，非周期信号的横条幅度则是延续的。

3 傅里叶变换微课设计

微课以视频为主要呈现方法，反映教师针对某个知识点或教学环节而开展教与学活动的教学资源的有机结合体，具有主体突出、情景真实、交互性强等优势[6]。傅里叶变换作为教学内容，符合微课教学主题突出、重点明确的要求，微课设计的思路有三点考虑。

(1)知识点选取。傅里叶变换公式和性质繁复，不适合采用微课方式讲授。信号拟合与傅里叶变换频谱的意义，则适合采用软件设计和视频讲解，且符合微课短小精悍、主题性强的特点。因此微课设计内容在于傅里叶变换的引入铺垫部分。

(2)资源准备与设计。首先收集教学背景，突出傅里叶变换的发展背景和原理描述；其次明确教学目的，以建立学生对谐波和频谱的认识为主要目标；改进教学手段，采用Matlab实验仿真，进行动态演示和学生实验操作；注重教学过程，启发和引导学生关注关键知识点；最后教学总结，将授课主题凝聚到教学目标和教学内容上。

(3)录制视频与发布微课。录制视频采用录屏型，需要捕捉鼠标状态。录屏内容包括微课目标、软件介绍和演示。编辑和完善视频使学生领会微课思路，清楚明白傅里叶变换微课的学习要求和任务。微课发布手段很多，学生普遍使用的QQ群即可完成微课发布与共享。

总之，微课设计应当充分调动必要的教学手段和策略，形成清晰明了的教学思路，使学生可利用碎片化时间，进行个性化自主学习。

4 翻转课堂优化实验和教学

翻转课堂将传统的课上传授与课下消化的学习过程翻转过来，通过教学视频在课下先进行知识传授而上课时教师帮助学生消化、理解和运用知识。傅里叶变换教学中，实验是提高学生学习主动性、激发学生创造性的有效工具，翻转课堂将学生变成实验课主角，可以提高傅里叶变换的授课效果和教学效率。

翻转课堂教学过程主要分为课前、课中、课后三个阶段。

(1)课前阶段精心准备教学资源，主要是傅里叶变换软件和配套使用说明，通过网络化教学平台发布至共享；学生预习实验软件，对实验进行自主操作和分析。

(2)课中阶段分为问题交流讨论和典型实验演示两部分，教师解答学生在课前阶段的问题，并对典型情形(如方波和周期方波)进行示范讲解。

(3)课后阶段，学生对任意感兴趣信号进行实验分析，分析讨论实验结果，归纳理解信号时域与频谱概念，为后期傅里叶变换对及其性质的学习与运用奠定基础。

“信号与系统”课程教学过程，主要以理论讲授形式为主，学生容易产生枯燥和厌学情绪。在傅里叶变换这样的教学难点攻坚战前，适当地加入1课时左右的实验内容，改为微课或翻转课堂的授课模式，有利于激发学生的学习兴趣和热情。

5 结语

本文探索了采用多元化教学手段来优化傅里叶变换的教学。运用Matlab GUI工具设计任意信号的傅里叶分析软件，制作微课视频演示实验和引导学生实验操作，采取翻转课堂形式使学生成为学习的主角。采用多元教学手段优化的傅里叶变换教学设计，激发学生对于信号拟合和傅里叶分析的兴趣，开展傅里叶分析实验加强了学生对于傅里叶变换知识和概念的理解，有利于学生在电子信息类专业课程学习和工程师能力的培养。