例谈圆锥曲线中最值与范围问题的解决策略

赵存善

圆锥曲线中最值与范围问题一直是高考中的热点和难点，其中有不少试题涉及到最值与范围，对于这些问题，很多同学望而生畏，骑虎难下，深感困难重重，难以决策。这类问题，也并非无规可寻，下面通过几个典型题目谈谈解决圆锥曲线中最值与范围问题的策略。

题型一：最值问题

例1 已知P为抛物线y=上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是（2，0），则|PA|+|PM|的最小值是 。

[解析]如图，抛物线y=，即x2=4y的焦点为F（0，1），记点P在抛物线的准线l：y=-1上的投影为P′，

根据抛物线的定义知，|PP′|=|PF|，

则|PP′|+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|=

所以（|PA|+|PM|）min=（|PA|+|PP′|-1）min=。

[答案]

[讲评]一看到本题，不少同学可能会依常理“出版”——构造函数，将问题转化为求函数的最值，然而其最值很难求得，这也恰恰落入了命题者有意设置的“圈套”之中，事实上，与抛物线的焦点（或准线）相关的最值问题，更多的是考虑数形结合，利用抛物线的定义进行转化，然后再利用三点共线或三角形的三边关系加以处理。

探究1 圆锥曲线中最值的求法有两种：

（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何体特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法。

（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等。

题型二 范围问题

例2（2012·天津）设椭圆（a>b>0）的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点。

（1）若直线AP与BP的斜率之积为-，求椭圆的离心率；

（2）若|AP|=|OA| ，证明直线OP的斜率k满足|k|>。

[解析]（1）设点P的坐标为（x0，y0），由题意，有。

由A（-a，0），B（a，0），得kAP=

由kAP·kBP=-，可得，代入①并整理得。由于，

故 a2=2b2，于是，所以橢圆的离心率e=。

（2） 依题意，直线OP的方程为y=kx，设点P的坐标为（x0，y0），

由条件得。

消去y0并整理得。

由|AP|=|OA|，A（-a，0）及y0=kx0，得（x0+a）2+。

整理得（1+k2）。而，于是，

代入②，整理得（1+k2）2=4k2（）2+4。由a>b>0，故（1+k2）2>4k2+4，即k2+1>4。因此k2>3，所以|k|>。

探究2 求参数范围的常用方法有四种：

（1）函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解。

（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的范围。

（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数范围。

（4）数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解。