导数零点问题求解探析

林志鹏

【摘要】 函数与导数是高考试卷的常见压轴题。“导数易得，零点难求。”本文通过几道典型题目探讨了这类问题的几种常见破解方法，丰富这类问题的解题策略，提高解题效率。要能够从容应对此类高考压轴题，除了注重总结，根本上还是要提高数学学科素养，才能融会贯通。

【关键词】 导数 零点问题 总结 学科素养

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2018）07-035-01

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导数是研究函数性质的重要工具，而求导数零点是导数应用的一个重要前提。函数与导数是高考试卷的常见压轴题，其中导数零点无法求解往往是此类题目的难点之一。导数易得，零点难求，本文通过几道典型题目探讨了这类问题的几种常见破解方法，丰富这类问题的解题策略，提高解题效率。

一、加强式子变形

对数学式子进行变形，是学好代数最重要的能力之一。加强对涉及到的式子及导数的变形，可以方便求导以及导数零点的求解。

例1.已知fx=ax-1ex+x2，x=0是fx的极值点.求证：fx≥lnax-1+x2+x+1.

证明：∵f′x=exax-1+a+2x，∵x=0是fx的极值点，∴f′0=a-1=0a=1；∴fx=x-1ex+x2故要证： x-1ex≥lnx-1+x+1，令x-1=t，即证tet+1≥lnt+t+2，

设hx=ex·ex-lnx-x-2x>0，即证hx≥0，h′x=e·exx+1-1x-1=ex+1ex-1ex，

令ux=ex-1ex， u′x=ex+1ex2>0，∴ux在0，+∞上递增，又u1=e-1e>0， ue-2=ee-2-e<0，故ux=0有唯一的根x0∈0，1， ex0=1ex0，当0x0时， ux>0h′x>0，

∴hx≥hx0=ex0·ex0-lnx0-x0-2=ex0·1ex0+lnex0+1-x0-2 =1+x0+1-x0-2=0.

点评：此题用到两次重要的式子变形，一个是将要证明的式子转化成tet+1≥lnt+t+2，另一个是h′x=e·exx+1-1x-1=ex+1ex-1ex的变形整理。

二、利用二分法确定导数零点范围，设而不求

在求导数零点的时候无法求出具体的数值，可以尝试利用利用二分法确定导数零点个数及范围，并利用零点必须满足的式子求解极值。

例2.设函数fx=xex-12a+1x2+2x， gx=lnx-12a+1x2-ax+a+1， a∈R.當x>0时，函数y=fx的图像上存在点在函数y=gx的图像的下方，求a的取值范围.

解：∵函数y=fx的图像上存在点在函数y=gx的图像的下方，可知x>0，使得fx0， xex-lnx-x-10时， φ′x=x+1ex>0，所以φx在0，+∞上递增， ∵φ（0）=-1，φ（1）=e-1 ，

∴φx存在唯一的零点t∈0，1，且当x∈0，t时， φx<0，当x∈t，+∞时， φx>0，则当x∈0，t时， h′x<0， hx单调递减，当x∈t，+∞时， h′x>0， hx单调递增，

故hx≥ht=tet-lnt-t-1， 由tet-1=0，可得lnt+t=0， ∴ht=0，∴hx≥ht=0，

点评此题中，利用二分法确定φx存在唯一的零点t∈0，1，又因为h′x=x+1xxex-1不能直接求解零点，所以利用导数零点必须满足tet-1=0从而求出极值。

三、放缩法

如果所研究的函数是比较复杂的超越函数，则在证明不等式时经常要利用放缩法对不等式进行放缩。此类题目中，经常要利用题目中前面已经证明的结论，或者利用一些比较常见的三角函数及指对数函数的放缩结论来进行放缩。

例3.函数fx=ex-x-1， gx=exax+xcosx+1.（1）求函数fx的极值；（2）若a>-1，求证：当x∈0，1时， gx>1.

解：（1）略.（2）不等式gx>1等价于ax+xcosx+1>1ex，由（1）得： ex≥x+1.

所以1ex<1x+1， x∈0，1，所以ax+xcosx+1-1ex>ax+xcosx+1-1x+1 =ax+xcosx+xx+1 =xa+cosx+1x+1. 令hx=cosx+a+1x+1，则h′x=-sinx-1x+12，当x∈0，1时， h′x<0，所以hx在0，1上为减函数，因此， hx>h1=a+12+cos1，

因为cos1>cosπ3=12，所以，当a>-1时， a+12+cos1>0，所以hx>0，而x∈0，1，所以gx>1.

点评：此题利用了ex≥x+1进行了放缩，否则原函数中既含有指数函数又有三角函数及一次函数，式子比较复杂，难以直接研究。

以上几种方法，只是研究函数与导数的一些常用方法。函数与导数作为代数问题的一部分，同学们要能够从容应对此类高考压轴题，除了注重总结，根本上还是要提高数学学科素养，提高解题能力，才能融会贯通。