郎肯循环中滑片式膨胀机基本方程的研究

江卫

摘要：现有的用于分析膨胀机输出功率的焓降方程和等熵膨胀做功方程均不能反映试验中实测到的与转速相关的非线性特征。本文利用朗肯循环中的输出功率方程证明了常用的膨胀机特征方程缺少反映非线性特征的分量；通过引入膨胀机内部泄漏流量，建立了与实测的朗肯循环中滑片式膨胀机转矩-转速曲线和功率-转速曲线特征完全一致的数学模型，为分析朗肯循环特性提供了理论依据。

Abstract： The existing enthalpy drop equation and the isentropic expansion work equation for analyzing the output power of the expander cannot reflect the measured nonlinear characteristics related to the speed in the test. In this paper， the output power equation in the Rankine-cycle is used to prove that the commonly used expander characteristic equation lacks the component that reflects the nonlinear characteristic. By introducing the internal leakage flow of the expander， the mathematical model with the same characteristics of torque-speed curve and power-speed curve of the vane expander in the measured Rankine cycle is established， which provides a theoretical basis for analyzing the characteristics of the Rankine cycle.

关键词：朗肯循环；滑片式膨胀机；等熵膨胀；非线性特征

Key words： Rankine-cycle；sliding vane expander；isentropic expansion；nonlinear characteristics

中图分类号：TB653 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2018）33-0155-04

0 引言

随着节能意识的加强和对低品位热能利用需求的增加，对适用于低品位热能利用的原动力机的研究也日益引起重视[1]。20世纪70年代，美国研制出60kW的螺杆膨胀动力机，用于地热发电，80年代后期美国又成功研制1000kW的地热水螺杆膨胀动力机，内效率高达65～74%，同一时期，日本也成功研制出利用工业锅炉饱和蒸汽发电的102kW螺杆膨胀动力机。进入21世纪，日本更是将螺杆膨胀发电设备制造标准化、系列化，为推广利用低品位热能生产出50kW的槽装式成套设备，便于模块化组合应用。

除了螺杆膨胀机，其他各类型膨胀机也被相继提出。文献[2]记载了2002年美国Purdue大学的Back等人用活塞式膨胀机替代跨临界CO2系统的节流阀，系统效率提高了10%；文献[3]记载了Marland大学的Huff等人利用汽车空调的涡旋压缩机制造成膨胀机并进行测试，计算出等熵膨胀效率达42%；文献[4]记载了德国Dresden大学研制出的三级膨胀式自由活塞式膨胀机绝热效率达50%。在国内，西安交通大学开发的自由活塞式膨胀机绝热效率高达62%[5]；天津大学先后研发了滚动转子式和摆动转子式膨胀机[6]。文献[7]提到，Fukuta M等人对滑片式膨胀机进行了理论模拟，并认为泄漏是影响效率的主要原因，油泵改造后的滑片膨胀机经测试，效率达到43%。此外，Musthafsh等人对滑片膨胀机用于有机工质朗肯循环的系统进行了测试[8]，指出滑片式膨胀机轴力矩和输出功率随转速变化的非线性特性，但这些非线性仅从绝热膨胀焓降做功方程或者绝热指数膨胀做功方程中尚无法反应出来。

由以上分析可知，导致滑片机轴力矩和输出功率随转速非线性变化的主要原因是膨胀工质的粘性作用。一方面，工质在膨胀机内因自身粘性摩擦产生功耗；另一方面，工质通过膨胀机内部间隙产生的粘滞力将对转子产生副作用。基于此，论文主要通过分析从朗肯循环中取得的滑片式膨胀机实测数据特性，重新建立并完善郎肯循环中膨胀机基本方程组，该方程组具有与实验成果一致的特征构架和趋势模型。

1 滑片式膨胀机动力特征

图1所示为用于实测滑片膨胀机性能的朗肯循环结构图。

图2和图3分别为滑片机几个不同参数的特性曲线[8]。

从图中可以看出，在热源和冷源温差不变的情况下，滑片式膨胀机的转矩-转速曲线和功率-转速曲线具有明显的非线性特征，即：

①膨胀机的输出扭矩和输出功率相对于转速都有一个最大值。

②在经过最大值的转速以后，不论扭矩还是功率，都显现随转速的增加而加速降低的趋势，其中功率最大的转速高于扭矩最大的转速。

③扭矩和功率的最大值及其经过最大值以后的下降曲线，同时呈现随冷热的温差增加而抬高平移。

由此可见，适用于郎肯循环中的滑片式膨胀机的基本方程必须完整反映上述实测特征。

2 郎肯循环系统基本方程

2.1 通用稳态方程

为便于分析，本文采用与文献[8]一致的，郎肯循环下的膨胀机基本方程进行分析。在如图1所示的郎肯循环系统中，包括膨胀机、蒸发器、冷凝器、工質泵等设备的工况状态在郎肯循环系统内相互衔接，同时又与外部冷、热源能量交换相关联，即：

式中，W1為由外币参数表达的朗肯循环功率方程；W2为工质泵交换功率；α和β均为修正系数；c1、c2、c3依次为工质、热源和冷源的定压比热容；m1、m2、m3依次为工质、热源和冷源的质量流量；b1和b2分别为蒸发换热系数和冷凝换热系数；ξ1和ξ2分别为热源和冷源的修正系数（无量纲）；T为温度；Q为热功率。

由于没有限定膨胀机的类型，因此，上式也适用于对滑片式膨胀机的分析。

2.2 系统方程与实测特性比较分析

2.2.1 功率-转速特征

上式表明，郎肯循环系统下膨胀机功率，除了与热源能量Q、冷热源温差ΔT以及工质热物质特性相关外，与转速n呈二次抛物线型的非线性关系。

2.2.2 转矩-转速特征

将公式（4）左右两端同时除以膨胀机角速度ω，可得郎肯循环下膨胀机转矩-转速特征方程，即：

上式是关于转速的单调下降的线性关系，与文献[8]实测的转矩-转速呈非线性关系有明显不同，表明上式不适用于由滑片式膨胀机构成的郎肯循环系统，即：在以滑片式膨胀机构成的郎肯循环系统中，膨胀机动力矩方程缺少能够反映出文献[8]中力矩与转速呈非线性关系特征的分项。

3 反映实测特性的滑片式膨胀机动力方程

以上分析表明，容积式膨胀机通用的转矩方程和功率方程，之所以与滑片式膨胀机的实测特性曲线不一致，是因为存在缺项，而这些缺项与转速存在紧密关联。本节将引入膨胀机内部的泄漏流量，导出容积式膨胀机含有泄漏分项的一般形式，并证明该一般形式符合滑片式膨胀机实测特性曲线中的非线性基本特征。

3.1 包含泄漏分项的郎肯循环输出功率

图4所示为包含泄漏分项的朗肯循环系统膨胀机功率-转速关系曲线。

由于公式（11）中的A、B是外部冷热源温差ΔT的正相关（单增）函数，因此当温差ΔT变化时，输出功率也发生相应变化，并且最大功率和最大功率对应的转速都随冷热源温差增加而增加。这个特性与文献[8]观测到的实测情况完全一致。

3.2 包含泄漏分项的郎肯循环系统膨胀机力矩方程

进一步分析公式（14）可知，由于AM和BM是冷热源温差ΔT的单增函数，因此转矩最大值和最佳转速nop都将随冷热源温差增加而增加。这个特性与文献[8]观察到的实测曲线完全一致。

3.3 优化方程组的扩展应用

然而，由公式（11）可知，内部泄露只是使膨胀机的功率方程增加了δ和Vp相关的分项，并且这些分项与膨胀机的进出口压力差和转速相关。因此，采用固定的膨胀机综合效率，进行朗肯循环系统的参数分析或者优化，将不能反映出不同工况对内部间隙泄漏和容积效率的影响，会出现较大的偏差。

此外，王伟[9]（单螺杆）、Huagen Wu[10]（双螺杆）和顾伟[11]（涡旋式）所做其它种类膨胀机特性实验也反映出相似的非线性特征，虽然分别表现出不同的走势趋态，但表明：对不同类型的膨胀机而言，参数Vp、Vω的状态不同，使实际实测成果处于公式（11）描述的不同段落。

4 结论与展望

本文推导的公式（11）和公式（14）呈现了郎肯循环下膨胀机输出功率和转矩与实测一致的非线性特征。这个非线性特征并非由于郎肯循环引起的，而是由于膨胀机内部间隙的泄漏以及泄漏工质的粘性作用产生的，反映了容积式膨胀机在泄漏工质粘滞性作用下的一般规律。因为膨胀机类型、尺寸不同，同时也包含工质流体的粘性系数不同，使内部间隙泄漏影响的程度存在差异，在图4和图5中表现出的线型也会有不同的变化，但其反映出的非线性和存在极大值的基本特征不会变。

以上关于郎肯循环下膨胀机输出功率和转矩的方程，是在没有限定具体膨胀机类型的前提下，引入内部间隙泄漏的影响而导出的。而关于膨胀机内部间隙泄漏的影响，也只是采用不失一般性的表达式。因此，由公式（11）和公式（14）反映出的郎肯循环下膨胀机输出功率和转矩特征，适用于各种类型的容积或膨胀机。

进一步研究，应结合膨胀机具体机型和几何尺寸，对内部间隙泄漏进行细化，采用仿真模拟，对比实验数据验证本文公式的精度。

参考文献：

[1]杨炳春，郭蓓，彭学院，邢子文.CO2滑片膨胀机热力过程的试验研究[J].西安交通大学学报，2008，42（3）：313-317.

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[7]Fukuta M，Yanagisawa T.Performance prediction of vane type expander for CO2 cycle [C]// International Congress of Refrigration Washington D.C.：School of Mechanical Engineering， Purdue University，2003.

[8]Musthafah B，Mohd.Tahir，Niboru yamada， and Tetsuya Hoshino.Efficiency of Compact Organic Rankine Cycle System with Rotary-Vane-Type expander for Low-Temperature Waste Heat Recovery [J]. Inter Journal of Environmental Science and Engineering2：1，2010.

[9]王伟，吴玉庭，马重芳.容积效率影响单螺杆膨胀机性能的初步分析与实验研究[J].工程热物理学报，2013，34（3）：401-404.

[10]Huagen Wu， Xioualin Wang， Ziwen Xing Performance study of a twin-screw expander wsed in a geothermal organin Ronkine cyde power generator [J]， Energ 90（2015）：631-642.

[11]顧伟，孙绍芹，翁一武，王玉璋.采用涡旋式膨胀机的低品位热能机物郎肯循环发电系统实验研究[J].中国电机工程学报，2011，31（7）：20-25.