论麦克斯韦方程组的相对论不变性

谌望

摘要：根据狭义相对论的相对性原理，并利用四维时空的变换关系，把电磁学有关的各物理量表示成四维形式，最终推导得出麦克斯韦方程组的相对论不变性。

关键词：麦克斯韦方程组;狭义相对论;四维时空;协变

一、四维时空的变换关系

在我们日常生活的三维空间中，假设有∑系，其坐标表示为（x1，x2，x3），另有∑′系，

其坐标表示为（x′1，x′2，x′3），若由∑系变换到∑'系满足正交条件：

x′ix′i=xixi=不变量i=1，2，3

（其中运用了爱因斯坦求和约定，后面不在赘述）

则其坐标变换具有确定的形式：

x′i=aijxi，aij可写作三阶方阵的形式，

且任意矢量和坐标变换具有相同的形式，而标量保持不变，二阶张量也有确定的变换形式：

T′ij=aikajlTkl

此即为三维空间的线性变换，即正交变换。

相對论指出，时间和空间彼此统一成四维时空，即闵可夫斯基空间。那四维时空的变换是否具有确定的变换形式呢？答案是肯定的！狭义相对论时空观要求，两事件的间隔不随参考系的改变而改变，即

x′21+x′22+x′23-c2t′2=x21+x22+x23-c2t2

若令四维时空的第四维坐标为含时间的虚数坐标x=ict，用希腊字母代替下标14，则间隔不变式可写作类似三维正交条件的形式：

x′μx′μ=xμxμ=不变量

且相对论的坐标变换为洛伦兹变换，具有确定的形式：

x′μ=aμνxμ

其中aμν由洛伦兹变换公式给出，为一个四阶的函虚数的方阵。类比三维空间易得，洛伦兹变换形式上可看作四维时空的正交变换（即可看作四维空间的“转动”），从而得到任意四维矢量都有与上述坐标变换相同的形式，而四维标量保持不变，四维张量具有下列确定的变换形式：

T′μν=aμλaντTλτ

此即为四维时空的变换关系！

二、电磁学有关物理量的四维形式的推导

根据上述四维时空变换关系的推导，我们引进了一个四维空间矢量xμ=（x→，ict），它在洛伦兹变换下具有确定的变换性质，我们将它称作四维协变量或协变量，四维标量与各阶四维张量都属于协变量。在参考系变换下方程形式不变的性质称为协变性，如果方程的每一项都属于同一类协变量，则方程在洛伦兹变换下具有确定的变换，方程形式不变，那么它就满足了相对性原理的要求，这就是我们推导麦克斯韦方程的协变性需要找出电磁学中物理量的四维形式的原因。

如上对于间隔不变性我们引入了四维空间矢量xμ=（x→，ict），同理在电磁学中我们知道电荷是守恒的，Q=∫ρdV=不变量，结合电荷密度与电流密度关系，易得四维电流密度矢量Jμ=（J→，icρ），则电流连续性方程（也称微分形式的电荷守恒定律），

通分和指标收缩运算容易验证，该方程也具有协变性。

综上所述，我们将麦克斯韦方程组写成了协变形式

Fμνxν=μ0Jμ，

Fμνxλ+Fνλxμ+Fλμxν=0

且两个方程都具有明显的协变性，由此我们便得出了麦克斯韦方程组具有协变性，即在参考系变换下，麦克斯韦方程组的形式保持不变，具有相对论不变性。

四、结语

相对性原理要求一切惯性参考系都是等价的，表征物理规律的方程其形式不会因惯性系而改变。我们通过四维形式，验证了麦氏方程组具有协变性，也就满足了相对性原理。所以由麦克斯韦方程组得出的一个重要结论，即电磁波在真空中沿各个方向的传播速度为c，这个结论不随惯性参考系的改变而改变，符合客观规律，解决了经典时空观的困难。但在其推导协变性上直接或间接地用了麦克斯韦方程的协变性来推导，如四维势矢量的推导以及电磁张量的洛伦兹变换推导。这种推导方法存在一定的逻辑缺陷，但就其用来理解其方程组的协变性来说，还是可行的，读者还可自行探究更为合理的推导方法。

参考文献：

[1]郭硕鸿.电动力学（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]尹真.电动力学（第三版）[M].北京：科学出版社，2009.

[3]吴波，方阳德.麦克斯韦方程组洛伦兹协变讨论[J].上饶：上饶师专学报，1998.