探究高中数学解题中导数的应用

魏再彬

摘要：作为高中数学中的重点知识内容，导数不仅是同学们课堂学习中的一部分，也是数学思想应用的典型实例。其丰富的数学思维运用，可以很好的帮助同学们建立数学的逻辑思维，同时也可以应用于其他部分的学习，帮助同学们以更加简单快捷的方式解决问题，不仅提高性学习效率，对于题目正确率的提升也是十分有帮助的。高中阶段，同学们在日常练习解题的过程中应用导数知识已经十分普遍，导数在解决读书数学问题中的优势性已经逐渐显现出来。本文笔者将结合自身生活学习经验，从一名高中生的角度，探究高中数学解题中导数的应用，以供读者参考。

关键词：导数;高中数学;解题应用

中图分类号：G633

文献标识码：A

文章编号：1672 - 9129（ 2018） 12 - 0162 - 01

近几年，新课标规定不断对课堂所学知识提出改进改革建议，各学科的许多内容都有了不同程度的增添、删减、但是数学课堂之中的导数部分却始终保持学习优势，在学习中的地位也逐渐突出。同学们对于导数的了解也不再像过去一样，仅限于是课堂中的所学知识，是试卷上的几个题型，而是逐渐在其他部分的学习中把导数运用其中，使其成为解题的良好辅助。在遇到一些抽象难以理解的题目时，换用导数的思维能够更加清晰直观的找出其中思路，以达到更加快速的解题，更好的提高准确率的目的。而新课标对于同学们的要求中也提到了综合能力素养的问题，导数的灵活运用，很好的符合了这一要求，同时也提高了学生的学科成绩。

探究导数的应用，首先要从导数本身谈起。简单来说，导数作为高中数学课程中的重点学习部分，其概念理论、公式定义和图形方程的运用都有了相对完善的体系。同学们需要做的是尽量掌握相关内容，然后灵活的加以运用。尤其对于数学中的函数、极值求解、区间单调性、不等式证明、曲线的切线等题型中运用较多。只要同学们掌握了导数的知识原理，自身的解题能力就会有根本的提高，接下来需要的就是在练习中不断强化、完善自身的解题方式。以此促进数学科目的學习，提高学习成绩。

1 利用导数求解题目最值

涉及导数问题，首先求解定义域，这是每个教师上课中都强调过的内容知识。所以关于导数的具体应用，也离不开定义域问题，伴随的即是最值求解。在学习函数内容之前，对于函数求解的方式是多种多样的，但是都存在有各自的局限性，或是准确率不高或是步骤过于繁琐。当函数正式成为数学中的学习部分之后，函数的最值求解即有了一种全新的更为便捷的方式，直观清晰，也避免了步骤过度而引起的小失误。

作为高中阶段的重点知识，函数的题型可以认为是逢考必出的，而高中阶段的最值求解更是受出题教师喜欢，即便有时不会出现在前面的选择中，也一定会在后面的大题中涉及一些分值，这也就显出了掌握最值求解问题的必要性。试题中往往最值求解的对象都是二次函数，如果用传统方式去分解方程或是逐一描点画图，误差太大，会降低最终结果的稳定性。而运用导数方法，则可以很快明确方程曲线走势，使其变得容易起来。而应用导数求解最值问题的本质是在函数定义域范围内的区建里，判断函数单调性，分别列出函数的增区间和减区间，最后带人区间两边函数图像所对应的横坐标值，求出图像所对的纵坐标即为所求最大值或最小值。比如以具体题目为例，有一函数其f（x） =In（l +x） -x.要求求解f（x）的对应值。对于该题目中的函数求值，可能许多同学会想到画图，更为直观和易于理解，但是这种方式误差过大，过程较长。因此这里采用导数方式，首先要根据题目函数确定函数的定义域，定义域为x∈（-1，﹣∞），求导可得出f（x）= -1，函数取极值时f（x）=0，此时可得x=0，以O为分界点，当-10函数图像呈上升趋势，单调递增;当x>0时，f（x）

2 利用导数解决函数的单调性问题

对于所给函数，将其转换成导数形式，然后根据特定区间内导数的符号正负来判断函数单调性的增减，这是解决函数单调性问题的一般步骤，也是利用几何方式研究函数曲线走向的典型用法，这个过程中所体现的是数学思维中数形结合的思维方式。通常对于简单函数的单调性判断，同学们会首先考虑定义法，步骤简单过程直观是它的首要特点，但是这种方式在面对较为复杂的函数问题时并不适用，过多的函数复合起来会让解题变得困难，最终变成无从下手的状况。这时候适当应用导数就能起到很好的效果。往往复杂的导数经过求解就会变得形式简洁，再进行相应分析计算就会简单的多。也因为以上原因，导数的单调性判断方式相比于定义法的判断方式应用更为广泛。

实际应用中，要通过导数转换来判断函数单调性，需要做的首先是确定原函数的定义域，然后再定义域范围内判断导函数的正负符号问题。假设函数f（x）的定义域是区间[a，b]，那么如果原函数的导函数f（x）在此区间内大于O，则f（x）在此区间内单调递增，同理，f（x）小于O，原函数在此区间内单调递减。举例，可以给定一个函数函数f（x）=x2 eax，定义函数中的a不大于O，在此条件下求解函数f（x）的单调性。审题可以得出此函数定义域x可取全体实数，在此基础上，对原函数求导可得f（x）=x（ax +2）ex，需要令f（x）=0，a=0（符合函数中的a不大于O），解得x=0，可知此时函数的单调性。此题中函数属于简单函数，平时练习要注意复合函数的求导问题，及每部分函数单独求导然后相加。单独求导可根据课本中的公式进行，这需要同学们牢记公式。另外，在解题过程中归纳单调性也要注意区间问题。

3 利用导数解决函数其他问题

解决函数图像的切线问题。上文中介绍了函数求导后的单调性问题，在定义域区间内，导函数大于零时，则函数图像单调递增，反之，导函数小于零，函数图像在定义域区间内单调递减。而存在的另一种情况，当导函数等于O时，函数图像斜率为零。这三种情况很好的验证了导函数的几何意义即是求解图形某点斜率的问题。不只函数，圆锥曲线、三角曲线、指数图像等都可以利用导数来确定切线斜率。但是因为定式思维影响，许多时候同学们并不能意识到导函数求解函数斜率切线的普适性。固有的方法总是存在许多局限性，鼓励同学们尝试利用导数知识解决切线问题，可以为以后的学习提供新的想法和思路。

解决不等式求证问题。与函数一起作为高中数学知识中的两大支撑性存在，不等式的考察往往会涉及许多函数知识，有意识的引导学生的综合学习能力。数学试卷中一般都会有一道函数和不等式的结合问题。解决此类问题需要运用导数知识对所给函数做将次处理，的出原函数图像分布在进行比较和证明。

综上所述，导数知识在数学解题过程中应用十分广泛。日常联系中同学们可以通过对导数知识的强化运用来提高解题速度和正确率。这就要求同学们掌握好导数的相关知识和内容，并在遇到问题时仔细分析，开阔思路，把导数知识灵活的用用其中。对于函数极值问题、单调性的判断、不等式证明和曲线斜率切线问题大多都可以使用导函数知识。同学们多多练习，强化相关知识，对于解决数学问题和一些实际情况都是十分有帮助的。

参考文献：

[1]邓晗阳.导数在高中数学解题中的应用探讨.2016 -12

[2]冯国东.导数在高中数学解题中的运用分析.2008 - 05