正方体的截面问题

陈斌

摘要：近几年高考全国数学试卷涉及正方体的截面问题的试题，本文就正方体的截面形状及性质进行了归纳整理，并对几道高考试题提出了解法。

关键词：高考;理数;正方体;截面

中图分类号：G634.6 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2018）12-0237-01

正方体的截面就是用一个平面去截正方体，正方体的表面与这个平面的交线围成的平面图形。

1.正方体的截面形状

正方体的截面可以是三角形，四边形，五边形或六边形，具体说：

（1）截面三角形一定是锐角三角形;其中可以是等边三角形、等腰三角形、不等边三角形;但不能是直角三角形、钝角三角形;

（2）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形;并且四边形中至少有一组对边平行;截面不能是直角梯形;

（3）截面可以是五边形;截面五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等;截面五边形不可能是正五边形（因为必有两组对边平行）;

（4）截面可以是六边形;截面六边形必有分别平行的边，同时有两个角相等;截面六边形可以是等角（均为1200）的六边形，特别地，可以是正六边形。

2.正方体的截角面的性质

所谓正方体的截角面就是沿正方体的某三个顶点截去它的一个角后的三角形截面。如右图中的△A'BD。

（1）每个正方体都有八个截角面;

（2）正方体的截角面垂直于它的一条体对角线，垂足是这条体对角线的一个三等分点。

（3）正方体的截角面与它的12条棱所成的角相等，也与它的六个面所成角相等。

由于截去的是正三棱锥，结合线面平行或面面平行的有关性质容易证明上述结论。

3.有关试题解法浅析

（1）把正方体截去一个角，求证：截面三角形是锐角三角形。

分析：如图，应该从截去的部分入手，关注被截去棱的部分长AE、AF，AG对△EFG形状的影响。

解答：如图，设AE=a，AF=b，AG=c，则所以所以∠EFG所以为锐角;同理∠FGE，∠GEF都为锐角;故ΔEFG为锐角三角形。

（2）【2018年高考全国卷I理数12】已知正方体的棱长为，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面積的最大值为（）分析：截角面与十二条棱所成的角都相等，并且与它平行的截面都与正方体的十二条棱所成的角都相等，又因为截面面积要最大，所以考虑正六边形截面。

解答：由截角面的性质和平行平面的性质，考虑正六边形截面，它的边长为面对角线的一半，故得S截面=，选A。

（3）【2018年高考全国卷I理数11】平面α过正方体AB-CD-A₁B₁C₁D₁的顶点A，α//平面CB₁D₁，α∩平面ABCD=m，a∩平面ABB₁A₁=n，则m，n所成角的正弦值为（）

分析：补体，直接找直线m和直线n，然后求夹角;或找分别与直线m和n直线平行的直线所成的角。

解答：法一：补体，m为AE，n为AF，△AEF为等边三角形，所以，m，n所成角为∠EAF=π/3，其正弦值为。法二：作截面A₁BD，由面面平行的性质m，n所成角的角等于∠A₁BD，可解。法三;m//B₁D₁，n//CD₁，m，n所成角的角即为∠CD₁B₁，可答。