导数在高中数学教学中的应用

裴尧

摘 要：随着素质教育改革目标不断的实现，在高中数学的教学过程中，在教材中通过融入多种教学思想培养学生的实际解决数学问题的能力，使学生能够将所学的数学知识与实际应用进行紧密的结合，做到学以致用，以达到为社会培养合格的素质教育人才。在学习高年级的数学知识时，应用导数可以有效地解决数学中的实际问题。因此在高中数学的教学过程中充分的应用导数帮助学生解决实际的数学问题越来越受到重视。本文主要基于导数在高中数学教学中的广泛应用，以相关知识点为例分析了导数在圆锥曲线中最值问题的应用在不等式问题中的应用，同时简单介绍了导数在判断函数单调性和解析简单几何问题时的应用，希望能为广大的教育工作者提供理论与经验借鉴。

关键词：导数；圆锥曲线中的最值；不等式；应用

引言：

高中阶段学习的导数本是属于微积分的基础内容，因为考虑到在高中阶段学习的数学知识中有多元函数、不等式、数列等难度较高的数学问题，因此在高中数学课本中融入导数相关知识的学习，使学生能够运用导数对相关的数学知识进行更深入的理解与分析，有助于学生对所学的高中数学知识进行深入的掌握与运用。而且在现阶段的高考试卷中，对于高中数学相关知识点的考核，也将导数在高中数学中的应用作为了考试的热门问题。在考试试卷中通过灵活多样的试题，将学生对于导数的灵活应用从多个角度多种问题以及实际应用能力等方面进行了充分的考核，可见导数在高中数学教学中的重要性非同一般。因此在高中数学的课堂教学过程中，我们应该引导学生充分的应用导数的相关知识，既加深对所学高中数学知识的理解，同时也让学生通过应用导数降低学习的难度，更快更准确更高效的解决数学问题。

一、导数在高中数学圆锥曲线最值问题中的应用

高中数学中从融入了导数相关知识以后，有效的丰富了高中数学的知识体系。而现阶段，导数相关知识作为高中数学学习的重要内容，运用导数解决实际问题为高中数学教学过程中的很多常规问题提供了解决问题的新视野，例如通过导数问题解决圆锥曲线的相关问题，尤其是通过导数的解题思路对圆锥曲线中的切线、中点弦、弦长、距离的最值、离心率取值范围等相关问题的解决变得更加容易。

例题1：已知抛物的一个动点P，抛物线外有一点M（4，1）点，求的最小值，如图1.

令，则导数。

解析导数可知，如果x=2，则=0，如则>0，如果则<0，所以x=2时有最小值为。

在解析上述圆锥曲线中的最小值时，通过应用导数，对被开方数函数进行转换，从而确定了导数方程式未知数的值域区间，然后应用分类讨论思想，求解出了问题的答案。通过上述例题，我们可以清晰的看出，在解题的过程中，由于运用的导数，有效的降低了解题的困难，同时也提高了解题的效率，所以在解席高中数学中的相似问题时，我们应该充分的引导学生运用导数知识，将看似复杂难解的问题变得简单容易，提高学生的解题效率为学生学习高中数学打下坚实的基础。

二、运用导数判断函数单调性的相关应用

单调性是函数的基本性质，因此我们在学习函数的过程中，对于函数的单调性不得不进行深入的学习了解分析。而在刚开始学习函数时是直接通过定义的方式来让我们学习函数的单调性，运用这种方法学习函数的单调性时显得较为复杂而繁琐，导致很多学生在学习的过程中觉得难度较高，难以掌握，对很多学习数学本就没有信心的同学更是雪上加霜，让他们觉得函数是高中数学学习过程中的难度最高的知识。但是如果我们在教学生学习函数时，能够充分的运用导数来帮助学生理解函数的单调性，就可以使学生对函数单调性的理解变得简单容易，有效的简化了函数的单调性问题。

例题2：已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a，求f（x）的单调区间。解：f′（x）=-3x2+6x+9，令f′（x）<0，解得x<-1或x>3，所以函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），（3，+∞）。

在解答上述例题时，首先通过函数的已知条件求出函数的导数表达式，如果如果导数在相应区间内的值大于零，则函数在该区间内单调递增，而如果导数在相应区间内的值小于零，则函数在该区域内单调递减。而在解题的过程中令导数f′（x）得出x的取值范围，通过x的取值范围（x<-1或x>3）就可以将函数的单调性表示出来。在分析该到例题的单调性时，充分的运用导数使得题目变得简单容易，而如果继续运用定义法对该函数的单调性进行分析，难度则会增加许多。例题也可以看出，运用导数解答该题时程序简单，可操作性强，应用导数为我们解析函数的单调性提供了很大的便利，所以在高中数学教学的过程中，教师要充分的引导学生将导数知识应用到函数单调性的求解问题上，使学生能够灵活的应用导数知识解析函数的单调性问题，提高学生解析函数问题的灵活性与效率，同时也增强学生对函数相关知识的深刻理解。

三、导数在高中数学不等式中的应用

在高中数学的知识大纲中，不等式的证明属于高中学生学习的重要内容。证明不等式相关知识的解题方法有很多种，我们在学习的过程中可以灵活的选择有效的方法进行不等式证明的学习。尤其是对于题目中含有指数或者是自然对数的不等式，我们在证明启恒成立的过程中很难找到其他方法进行有效的解决，唯一能够运用的就是导数方法可以有效的帮助学生解题，使相关的问题变得相对简单。

例题3：设a≥0，f（x）=x-1-ln2x+2alnx，（x>0）。求证：当x>1时，恒有x>ln2x-2alnx+1.

证明：由a≥0知，f（x）的极小值f（2）=2-21n2+2a>0

对于范围内，恒有f（x）-x>0，故f（x）在内单调递增。

所以当x>1时，f（x）>f（1）=0，即X-1-ln2x+2alnx>0，

故當x>1时，恒有x>ln2x-2alnx+1.

在运用导数证明不等式恒成立的相关问题时，其关键问题就是将不等式转换成函数问题，再转换成函数之后，需要对函数进行分析，如果函数是可导函数则可以运用导数的方法进行解题，而如果函数是非导函数，则不能运用导数的方法进行解题。如果转换出来的函数是可导函数，通过对函数的求导，然后运用导数求函数的最值问题和单调性问题，就可以有效的将不等式恒成立的证明问题转换成求函数的最值问题，这样解题就变得相对容易。

四、结束语

高中数学对于很多学生来讲都觉得是难度相对较高的一门学科，但是当我们找到有效的学习方法之后，就会发现其实高中数学学习的知识并没有那么难。本文通过分析导数在高中数学重要知识解题过程中的应用，介绍了运用导数方法可以有效的帮我们降低学习高中数学的难度，使我们的高中数学学习变得更加容易，学习效率变得更高。当然导数在高中数学中的应用并不局限于本文所分析的内容，在高中数学中的数列问题几何问题函数图像绘制中等相关知识中的应用也非常广泛，在教学的过程中应充分的引导学生应用导数解决相关的数学问题。

参考文献：

[1]吴沛东.高中生在导数问题解决中的学习调查与对策研究[D].贵州师范大学，2014.

[2]于红燕.高中数学探究教学案例研究[D].天水师范学院，2017.

[3]张美娟.高中数学“导数及其应用”的教学研究[D].西北大学，2017.

[4]杜保华.导数在高中数学教学中的应用[J].高中数理化，2016，20：3-4.

（作者单位：四川省泸州市高级中学校）