积分因子求法的教学思考
2018-10-20孙春香
摘要：恰当微分方程是一类重要的可求解一阶微分方程类型。因此，如何通过找方程的积分因子将其化为恰当方程求解，成为求解一阶微分方程的主要方法之一。本文针对不同类型的微分方程，研究其积分因子的求法，并给出具体实例加以说明。
关键词：一阶微分方程;积分因子;恰当微分方程
中图分类号：G0177.6文献标识码：A文章编号：1672-9129（2018）06-0180-03
The Study of Teaching on Method of Integrating Factor
SUN Chunxiang*
（School of Finance and Mathematics， Huainan Normal University， Anhui Huainan， 232001， China）
Abstract：The proper differential equation is a kind of important type in the first order differential equation. Therefore， how to turn the equation into a proper differential equation by integral factor is one of the main methods. Aiming at different types of differential equations， this paper studies the method of calculating their integral factors， and examples are gives to illustrate effectiveness of the method.
Keywords：The first order differential equation， Integral factor， Proper differential equation
引用：孙春香. 积分因子求法的教学思考[J]. 数码设计， 2018， 7（6）： 180-181.
Cite：SUN Chunxiang. The Study of Teaching on Method of Integrating Factor[J]. Peak Data Science， 2018， 7（6）： 180-181.
引言
一階微分方程是常微分方程的理论基础，它的初等解法主要有变量代换法、积分因子法。理论上可以证明可求解的微分方程都可以化为恰当微分方程求解。但如何求解方程的积分因子，成为许多学者的主要研究对象。因为对很多方程来讲，其积分因子的求法是复杂且困难。根据本人几年来的教学经验，本文将对几种不同类型微分方程进行讨论，给出积分因子的具体求法，以便能更好地解决微分方程的求解问题，避免了某些方程求解方法的繁琐与盲目。
1 基本概念
定义1[1]称方程
（1）
为恰当微分方程，若它满足：（1）左端是一个二元函数
的全微分，即
（2）
定义2[2]称连续可微的函数
为方程（1）的积分因子，若
（3）
为一恰当微分方程。容易验证，方程（1）与方程（3）同解。
定理1[1]方程（1）位恰当方程的充要条件是
2 主要内容
若函数
为方程（1）积分因子，则方程（3）为恰当方程，根据定理1可知
（4）
即
（5）
（5）是以
为未知数的一阶线性偏微分方程，要想通过解方程（5）来求积分因子通常很困难，但在若干特殊情形中，可以积分因子
。下面给出几种类型积分因子的求法。
2.1
或
形式的積分因子
定理2 方程（1）存在只与x有关的积分因子
的充分必要条件为：
（6）
其积分因子为
。
证明：若方程（1）存在只与x有关的积分因子
， 则
.
方程（5）变为
（7）
变形可得
（8）
由此可知，方程（1）有只与x有关的积分因子的充要条件是
（9）
因此，可以求得方程（1）的一个积分因子
.
类似讨论可知，
定理3 方程（1）存在只与y有关的积分因子
的充分必要条件为：
（10）
其积分因子为
。
例1 求
的積分因子.
解： 因为
且
，则
， （11）
因此，积分因子为
。以
乘上方程两边得恰当方程
（12）
因此，原方程的通解为
。
2.2
形式的积分因子
定理4 方程（1）存在
形式积分因子的充分必要条件为：
（13）
其积分因子为
，其中
是
的一个原函数。
证明：方程（3）有积分因子
的充要条件为
. （14）
因为令
则有
（15）
將（15）代入（14）得：
（16）
即
. （17）
这就证明了的充分必要条件为：
。 （18）
并由此得出其积分因子为
。
推论1 微分方程（1）有
形式积分因子的充分必要条件为
（19）
例2 求方程
的积分因子.
解： 因为
且
（20）
只与
有关，于是有积分因子
. （21）
2.3
形式的積分因子
定理5 方程（1.1）存在形式积分因子的充分必要条件为：
（22）
方程的积分因子为
，（其中
是
的一个原函数）.
证明：（必要性）若
是方程（1）的一个积分因子， 由于
（23）
将（23）代入（5）中，消去
并化简可得
（24）
（充分性）若
成立，则有
（25）
设是
的一个原函数，上式两边同乘以
，化为
（26）
即
是方程（1）的一個积分因子。
推论2 方程（1）具有
形式的积分因子充要条件为
（27）
推论3 方程（1）具有
形式的积分因子充要条件为
（28）
例3 求解方程
解： 由题意得
;
; （29）
（30）
令
，得
（31）
故積分因子为
（32）
方程两边同乘以积分因子得
（33）
化简得
（34）
故方程的通解为
（35）
3 结束语
微分方程积分因子形式多样，并无统一的求法，积分因子作为用来处理一阶微分方程的一般方法，但求解积分因子一大难点。本文归纳并概括性地给出了几种积分因子的求法，不仅适用于一般的一阶微分方程，还适用于一些特殊的一阶微分方程。
参考文献：
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