从“饭来张口”到“自己动手”

徐腾云

摘 要：数学题目，不管是课本上，还是作业本上或试卷上，如果题目有图，一般的题目都会给出图形，这样学生节省了画图的时间，但学生的画图能力、动手能力、分类讨论的意识却缺失了，近几年杭州中考数学试卷在这方面动了脑筋，有意识地增加了学生自己画图题的数量，对培养学生的动手能力起到了良好的导向作用.

关键词：初中數学；动手能力；分类讨论

数学题，有图的题大多给我们画好，一般总是有“如图”两个字出现在题目当中，这种题有助于学生理解题意，不会走弯路，使学生把主要精力放在数学思维上.但是，数学题把图画好也有它的局限性，如一题多解的题它可能有多种图示，如果把它都画出来，就禁锢了学生的分类讨论，伤害了题目的“灵魂”.同时，自己画图，也可以培养学生的动手能力，迫使学生仔细读题，认真画图.有的学生做有图题时，看题目“走马观花”，看图形却“一心一意”.导致疏忽了题目当中的重要条件，如“直线”看成“线段”，“延长BA”看成“延长AB”，“直线上”当作“线段上”等等.当然培养学生的动手能力，也是《义务教育数学课程标准》所要求的，《义务教育数学课程标准》指出：“动手实践，自主探究，合作交流是学生学习数学的主要方式.有效的数学学习方式不能单纯地依靠模仿与记忆.”“学生是数学学习的主人，应当给予学生以最多的思考、动手和交流的机会，经历知识的生成，发展，变化的全过程.”“使学生亲身经历数学问题的提出过程、解决方案的探究过程.”课标从“双基”到“四基”新增的“数学基本活动经验”也强调学生自己的动手操作尤为重要，它是学生认知的首要环节.新课程标准倡导学生获得知识应该是一个主动的过程，学生不是信息被动接受

者，而是知识获得的主动者.这就要求我们让学生动起来，使课堂活起来.有些学生，特别是几何证明题，你叫他思考没有问题，如果叫他写出来则漏洞百出，缺乏条理.叫他根据题意画图，则无从下手，举步维艰.就是叫他对着图画他也会把线段画成弧.这方面，杭州中考的命题者做了有益的尝试，近几年杭州中考数学试卷增加了自己画图题的分量，淡化了繁杂的运算和解题的技巧性，着重考查学生的数学综合素养，显现了“反对题海战术，提倡轻负高质”的导向.下面我们来看一下近几年杭州中考数学的自己画

图题.

一、只需画出图形

只要根据题意画出图形，题目就迎刃而解.

例1.（2016杭州中考）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m

A.m2+2mn+n2=0 B.m2-2mn+n2=0 C.m2+2mn-n2=0 D.m2-2mn-n2=0

简析：画出图形，如图1，由题意得到等腰直角△ABC的三边长，利用勾股定理就可以做出选择.

例2.（2016杭州中考）在平面直角坐标系中，已知A（2，3），

B（0，1），C（3，1），若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为_________________.

简析：根据题意画出图形，如图2，利用平行四边形的性质求出点D的坐标，再利用中心对称的性质求出点D对称点的坐标.

二、画图时注意分类讨论

分类讨论是初中数学的难点，画图题学生也经常不能考虑

周全.

例3.（2016杭州中考）在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为 .

简析：如图3，这道题学生在画图的过程中一定要注意E点的位置有两个，这样∠EBC的度数也有两个.

例4.（2015杭州中考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y=2/x的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP，若反比例函数y=k/x的图象经过点Q，则k= .

简析：如图4，这道题先利用关系式求出t的值，然后再根据题意画出图形，注意Q点的位置有两个，Q点的坐标就有两个，k的值就有两个.

例5.（2014杭州中考）点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H，若BH=AC，则∠ABC所对的弧长等于

（长度单位）.

简析：这道题与上面两道分类讨论画图题不同的是要画两个图，∠ABC分锐角和钝角两种情况.两种情况都考虑到的学生应该是非常优秀了.

三、题目虽有图，但还需自己画

（1）写出其余满足条件的⊙P的圆心坐标；

（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连结各圆心，求所得几何图形的周长.

简析：第（1）画图时要注意利用对称分两类求解①相邻直线是对称轴②不相邻直线是对称轴.

例7.（2016杭州中考）23.在线段AB的同侧作射线AM和BN，若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P.如图9，点点同学发现当射线AM，BN交于点C；且∠ACB=60°时，有以下两个结论：

①∠APB=120°；②AF+BE=AB.

那么，当AM∥BN时：

（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出∠APB的度数，写出AF，BE，AB长度之间的等量关

系，并给予证明；

（2）设点Q为线段AE上一点，QB=5，若AF+BE=16，四边形ABEF的面积为32，求AQ的长.

简析：这道题虽然有图，但（1）（2）两题还需自己画图，第（2）题还需分类讨论，注意∠MAB是锐角和∠MAB是钝角两种情况，如图10.

例8.（2013杭州中考）射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm.动点P从點Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值.（单位：秒）

简析：题目虽有图，但还需自己画，根据切点的位置分三种情况，如图.

四、数形结合有助理解题意

例9.（2017杭州中考）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x-a-1），其中a≠0.

（1）若函数y1的图象经过点（1，-2），求函数y1的表达式；

（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；

（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m

简析：这道题的第（3）小题，不用画图用解析法也可解，但通过画图，数形结合能够更直观、形象.

因为二次函数y1=（x+a）（x-a-1）的对称轴x=0.5是个定值，当x=0与x=1时，函数值相等.通过画图很容易就可求出x0的取值范围，如图16.

有人会说，数学不是有尺规作图题吗？何必要多此一举呢？这不一样，尺规作图题更加规范，要求更高.而自己画图题，则更自由，只要画出题目的意思就行.对自己画图题，平时要加强对学生读题能力的培养，老师少读题，让学生自己去理解、感知，通过设置“陷阱”“隐含条件”提高读题能力，防止学生读题“一滑而过”，找不到问题的切入点和有效信息.对有些例题也可考虑不给出图形，让学生根据题意自己来画图，以锻炼学生对点、线、面的感知能力，提高作图的速度和准确性，避免因作图不准确等问题而束手无策.近几年，杭州中考试卷几乎都有自己画图题出现，自己画图题对题目命制要求更高，需要题目叙述清晰，不能模棱两可，自己画图题让学生既掌握了知识，又获得了能力.自己画图题，有利于增加学生的感性认识，有助于激发学生兴趣，发展学生思维.乡村教育家陶行知说：“人有两个宝，双手和大脑.用手不用脑，饭也吃不饱.用脑不用手，就要被打倒.用手又用脑，才是开天辟地的大好老.”有意识地引导学生动手操作，使学生手脑得到更好的发展，使他们体验到学习数学的快乐，同时在掌握知识的过程中，使学生的创新意识与创新能力得到有效发展.我想，从给出图形“饭来张口”到自己画图“自己动手”，以后自己画图题会经常出现在中考试题中，直到动手能力弱这一缺陷得到弥补为止.

编辑 李建军