试析运用联想思维解决数学问题

◆徐慧鑫

(本溪市高级中学)

很多人说，高中数学知识抽象复杂，学习起来难度太大。我认为，高中数学之所以学习吃力，很重要的原因是缺乏有效的解题思路和解题方法。在实际学习中，我们在老师的带领下经常会学习总结一些解题方法，但是解题思路的归纳学习往往被忽略。数学知识之间其实是有内在联系的，新旧知识可以进行迁移与转化，因此在数学学习中我们可以借助联想思维，做好新旧知识的融会贯通。我认为，要想学好数学，就必须具备联想思维。

一、什么是联想思维

从字面上理解联想，就是由之前认知的事物联想到另一件事物上，借助两者的关联去思考探究新问题。在高中数学学习中，联想可以将数学对象和有关知识进行联系，由此到彼，找到两个事物之间共有的规律，联想是数学思路转化的桥梁，是新旧数学知识联系的纽带。我们在学习中遇到陌生的习题，陌生的知识，都需要借助联想，进行新旧知识的迁移。通过找关系，找到共有的规律，找到解题的思路。我在高中数学学习中很喜欢用联想思维，对题设中的条件、图形特征及求解目标进行分析，从而很快地联想到原有的定义、定理和法则等，从而找到解题的思路和方法。运用数学联想思维，数学解题可以达到事半功倍的效果。

二、数学联想思维在数学解题中的作用

在笔者看来，在数学解题中善用联想思维，可以起到拨开迷雾的积极作用。我通过自身的学习体验将数学联想思维的解题作用归为两类。

(一)数学联想为数学解题指明方向

我们在数学学习的过程中总会遇到不懂的地方，无法继续解答下去的情况，我们不知道怎么入手，如何破解这道题目，有这种体会主要是我们遇到的数学问题与我们之前学过的知识和尝试过的题型不一样，和我们掌握的解题方法无法关联，我们就陷入解题的迷茫之中。在这种情况下，我们决不能钻牛角尖，我们必须跳出来，换个思路，想想我们学过的类似的知识，去尝试着建立新旧知识的关联，通过“他山之石”，起到“可以攻玉”的目的。甚至与它的反面进行对比，逆向思维，看看能不能有意外的解题思路。有时候换个思路，进行联想，我们会发现山重水复疑无路，柳暗花明又一村，在我们不知道如何解答的时候，找到解题思路。

(二)数学联想带动题设到结论的转化

在高中数学学习中，我们常常用到转化方法，适当的转化可以剥茧抽丝，变抽象复杂为简单生动。不懂的枯涩的问题在转化后可以变得更熟悉，我们学习解答起来也更容易。转化与联想是有着本质契合性的，无论怎样转化，都需要联想辅助，我们只有运用联想思维才能进行准确转化。在高中数学学习中，我们也常常觉得一些解题思路和方法很妙，其实仔细分析，是因为他们运用了联想思维，没有墨守常规，通过分析题目的特点联想到相似的问题上，运用之前的解题思路进行难题的破解。因此数学联想带动数学问题从题设到结论的转化。

三、巧用联想思维解题数学问题

(一)直接联想，突破难题

在高中数学联想思维中，直接联想是最好理解的，直接联想就是表面联想，什么时候可以运用直接联想呢，当数学题目中包含解题条件和公式信息，我们可以借助直白的数学概念进行数学联想，在联想的过程中找到正确的解题思路，直接联想，带来的是解题的高效与准确。直接联想是数学学习中我们必须要运用的一种解题思路，因为其简单而基础。在平时的数学学习中，我们必须要熟记课本中的各种数学理论知识和概念定理，千万不能混淆，只有基础知识掌握到位，才能运用直接联想解决数学问题。例如在学习集合知识后，我们遇到这样的联系题：已知两个集合A= {X/X2≤1}，B={b}，当b为多少时，满足A∪B=A。在这一练习题目中所运用到的是集合知识，由于A∪B=A，运用直接联想很快得出答案。再例如问题：直线X+2y+3=0的斜率和在y轴上的截距是多少？我们可以根据方程式，运用直接联想，关联到一次函数问题上，根据题目中列出的条件，探讨斜率及截距问题。这种题型最适合直接联想，找到关联点进行突破解题。

(二)类比联想，举一反三

类比联想就是运用类比法将不同类型的学习对象结合起来分析，找到两者的差异，通过新旧知识的迁移做好两者对象，解题思路和解题信息的差异区分，从而举一反三。我们在学习图形结构及数学关系时可以运用类比联想。例如，解答图像问题时，可以画出图像，两种图像对比分析，找到两个图像之间在对称性、特殊性及独特性方面的差异。或者在一些数量关系问题解答中运用类比联想。特别是在“等差”，“倍数”这类问题的解答中，挖掘不同数量对象的关联性。高中数学中有很多知识点有相似性，我们可以运用类比联想思维解决等差数列、双曲线、椭圆等相关的数学问题。

(三)抽象联想，化繁为简

(四)对立联想，结论验证

在高中数学学习中，我们也应该掌握对立联想，借助对立联想来解决实际问题。题目信息可以是文字也可以是图形，对立联想难度很高，但是操作方便，我们在深入理解题目后，借助对立联想解答。例如知道实数m，n，1，这三个实数之间的数量关系为m-n=8，mn+12+4=0。请求证m+n=0。如果采用正向思维很难找到问题解答的突破口，并且在正向思维思考中耗费大量时间。在正向思维无解的情况下，我们尝试对立联想。从证明结论入手：将m-n=8进行对立联想，适当转化后我们能得到m+(-n)=8，参考已知数量关系，可以得出m+(-n)=12+4，这样就可以根据算式列出一个一元二次方程：X2-8X+12+4=0，从而解方程可以得出m，-n的值。结合题干，所以就可以进一步的得出Δ=(-8)2-4(12+4)≥0得出Δ=0，方程求解得出m=-n=4，可以证明结论。通过一系列的对立联想，我们可以进行推理验证结论。

四、结束语

联想作为常见的数学思路，理应在高中数学学习中起到教学启发与点拨的作用。我们在高中数学学习中必须做好联想思维的尝试运用。我们在学习初期很可能不知道如何运用联想思维，也不知道运用哪一种联想思维解决问题，但是我们在长期的数学解题尝试中，在扎实的数学知识掌握的前提下，通过训练，一定会熟练运用数学联想思维解决数学实际问题。