多维大规模网络射频能量收集性能分析

夏洪星，李勇朝，张海林

1(南通师范高等专科学校 信息技术系，江苏 南通 226300)

2(西安电子科技大学 通信工程学院，西安 710071)

1 引 言

无线射频能量可为能源受限的无线设备补充电能，从而延长无线网络的使用寿命.这种能量的特点是可获取率随着能量收发机之间距离的增长而快速衰减.随着大规模无线网络，如5G标准小蜂窝网络和移动车联网的兴起，能量收发机之间的距离越来越近.同时，随着网络密度的增大，干扰信号也可以作为一种能量来源进行累加，提高了能量获取率.基于此，本文分析大规模无线网络中典型位置节点收集射频能量的性能.

1.1 相关工作

目前，研究者主要采用随机几何工具分析大规模随机网络的能量收集性能.文献[1]提出了一种供电塔和蜂窝基站共存的网络模型，得出了在用户上行中断概率约束下用户发射功率、基站密度、供电塔发射功率及分布密度之间的均衡分析.文献[2]考虑了一种能量信息协同传输的大规模无线网络，假设每个发射机有唯一的接收机，研究了平均收集能量和下行中断概率约束下的发射机功率优化问题.文献[3]根据无线网络节点部署时的空间排斥特性，采用Ginibre点过程对网络进行建模，得出平均射频能量收集率是发射机密度的闭式函数，并分析了能量中断概率.能量中断包含两种情况：一是收集能量不足以支持基本电路消耗的功率；二是收集能量可以支持通信但是速率达不到QoS要求.但文献[3]没有考虑接收机天线的输入能量低于能量收集器启动门限的情形.

文献[4]研究了多层异构信息能量同传网络中的能量收集性能和上行传输覆盖率.虽然该工作得到了收集能量的累积分布函数(CDF)的积分表达式，但仅考虑了2维空间模型，不能直观地扩展到多维空间.此外，该文献没有考虑能量收集电路敏感性的问题.文献[5]首次提出有效能量收集概率的概念并应用于2维小蜂窝网络模型，但没有得出平均可收集能量.本文将该工作拓展到多维空间模型，并提出新的能量收集性能指标.

1.2 主要贡献及文章组织

本文采用多维随机泊松点过程(Poisson Point Process，PPP)对传输节点进行建模，而不仅局限于常见的2维网络.优点是将得到一个形式统一的分析框架，可将分析结果同时应用于1维随机网络(如车联网)，2维随机网络(如LTE-A小蜂窝网络)和3维随机网络(如3D无线传感器网络，城市建筑群内的Wi-Fi热点)等.

此外，本文还将考虑能量采集电路的敏感性对收集性能的影响.这一点尚未被其他学者充分考虑.敏感性是指仅当接收机天线的输入能量高于某一门限值时，这些能量才会被转化成直流功率信号存储到电池或者超级电容中，否则换能器将无法启动(或转换效率太低达不到能效要求).一般而言，信息译码所需信号功率水平在-60dBm左右即可.而能量收集器启动所需信号功率在-10dBm左右[6].随着射频能量收集电路的不断发展，收集功率门限有一定降低.文献[7]设计了一种利用移动终端发射的2.4GHz Wi-Fi信号为可穿戴设备充电的方案，收集器要求输入功率至少达到-16dBm以上.文献[8]设计了采集蜂窝网络738MHz频段能量的收集器，要求至少-18dBm的输入功率.虽然能量收集门限有一定降低，但仍然远高于信息译码所需功率.因此在计算节点可用射频能量时，必须考虑能量收集门限约束条件.否则，会造成对可用能量的过高估计，从而影响无线供电通信系统的优化设计.

本文用泊松点过程对d维大规模无线输能网络中的发射机和接收机进行建模，采用有界路径损耗模型和瑞利小尺度衰落进行信道建模，利用随机几何工具分析了实际可收集能量的性能.本文主要贡献如下：

1)考虑实际能量收集器件的敏感程度，提出有效能量收集概率和平均可用能量这两个新的性能量度，分别表征大规模网络中射频能量的充电概率和平均充电效率.给出了这两个指标的数值计算方法，得到维度和路损指数之比为0.5时的闭合表达式.

2)得到d维随机网络中接收机到达功率分布函数的统一表达式，这一结果可同时用于一维、二维和三维大规模随机网络，可在车联网无线输能和3-D无线传感器网络能量收集等方面得到应用.

3)本文研究结果表明，对于高密集随机网络或者低敏感度的能量收集器，收集门限将产生较大的影响：包括对充电概率和平均可用能量的过高估计.

本文的组织结构如下：第2部分描述了系统模型并提出两个性能指标：有效能量收集概率和平均可收集能量.第3部分则利用拉普拉斯变换方法得到了接收机到达能量的分布.第4部分得到了所提出性能指标的计算方法和闭式上界，通过仿真验证了结果.第5部分对本文做了总结.

符号约定：符号E[X]表示随机变量X的统计平均.符号P(A)表示事件A发生的概率.‖x‖表示坐标x到原点的欧氏距离.

2 系统模型和性能指标

2.1 系统模型

假设网络中接收机Rx的位置y服从d维均匀泊松点分布Φr(λr)，即y∈Φr.发射机Tx的位置x服从d维均匀泊松点分布Φt(λt)，即x∈Φt.λr和λt分别为接收机和发射机的分布密度.坐标x和y为d维向量，为描述方便，本文可能直接用坐标x,y代表收发机本身.网络模型如图1所示.根据Palm定理，均匀泊松点过程中任意一点观察到的点分布均相同[9].不失一般性，本文假设坐标系统原点为典型能量接收机所在位置，即典型接收机的坐标为y=o.

图1 网络实现模拟，λt=5×10-5/m2,λr=1×10-4/m2Fig.1 Simulation of network with λt=5×10-5/m2,λr=1×10-4/m2

根据Friis公式，自由空间中的发射机D处天线的接收功率为[10]：

(1)

其中Pt为发射功率，Pr(r)为接收功率，D为T-R距离，L≥1为系统损耗因子，Λ为波长.为了简化表达式，本文将除距离函数以外的所有因子归纳为等效发射功率Pet，即Pet=PtGtGrΛ2/(4π)2L；考虑到实际环境，将路径损耗指数修正为α(α>2)；同时考虑小尺度衰落对接收功率的影响，得到发射机x对典型位置接收功率的贡献为：

Pr(‖x‖)=Pet,xhx‖x‖-α

(2)

其中，‖x‖为点x到原点的欧氏距离；hx表示信道衰落系数.由于发射机位置是随机分布的，有可能出现‖x‖<1的情况.这会导致接收功率大于发射机功率，违反了能量守恒定律.为了避免这一情况的发生，本文采用如下有界路径损耗模型[11]：

(‖x‖)=min(1,‖x‖-α)

(3)

则发射机x发出的信号在原点处的接收功率为：

Pr,x(‖x‖)=Pet,xhx(‖x‖).

(4)

整个大规模网络所有发射机发出信号在原点处的累积接收功率为：

(5)

为简化分析，本文假设所有发射机的等效发射功率相同，即Pet,x=Pet.同时设所有无线信道服从均值为1的独立瑞利衰落.则考虑发射功率后的等价信道衰落系数h=Pethx服从均值为Pet的瑞利分布，即h～Exp(1/Pet).根据以上假设，将(5)改写为：

(6)

2.2 有效能量收集概率

定义1.有效能量收集概率(Effective Energy Harvesting Probability(EEHP))：能量收集器的接收功率超过收集门限Θ的概率.即，

Pech=P(PH≥Θ)=1-FPH(Θ).

(7)

其中，FPH(x)是接收功率的累积分布函数.

对于大规模随机分布的接收机而言，EEHP可以认为是某次网络实现中可充电的接收机在所有接收机中所占比例.也可理解为某个确定的接收机在一段较长时间内可充电的概率(假设活动发射机位置随机分布).

2.3 平均可收集能量

定义2.平均可收集能量(Average Harvestable Energy (AHE))： 可被能量收集器利用的平均射频功率.即，

(8)

其中，fPH(x)是到达功率的概率密度函数，η(x)为输入功率为x时的能量转化效率.

AHE可认为是大规模网络中每个接收机的平均可收集能量，也可认为是某个用户长期的平均可收集能量.该项指标描述了射频能量的收集效率.

3 接收功率分布

直接计算接收功率PH的分布函数较困难，本节将首先分析PH的拉普拉斯变换，然后通过反变换来求接收功率的累积分布函数.

3.1 PH的拉普拉斯变换

采用闪点噪声过程的分析方法计算接收机的到达功率[12].首先，根据映射定理将密度为λt的d维均匀PPP映射到密度为λ′的一维PPP，

λ=λtcddrd-1

(9)

cd为d维单位球的体积，cd=πd/2/Γ(1+d/2).

接收能量PH的拉普拉斯变换定义为：

LPH(s)ⓐE[exp(-sPH)]

(10)

由于功率分布和泊松网络中的干扰分布具有类似的形式.为此首先引入有限均匀泊松网络中干扰分析的一个重要结论[13]：

推论1.一个有限均匀泊松网络中，典型节点处总干扰功率的拉普拉斯变换为：

LI(PPP)(s)=exp(-λcdEh[D(s)])

(11)

其中，λ为网络密度.

(12)

这里A和B分别表示环形有限泊松网络的内径和外径.Γ(a,z)表示上不完全伽马函数，

考虑到本文所采用的有界路损模型，不妨将接收功率PH分成两个部分：

1)PH,r≤1：单位球B(o,1)内的发射信号在原点的接收功率；

2)PH,r≤1：单位球B(o,1)外的发射信号在原点的接收功率，则PH=PH,r≤1+PH,r>1.

将A=0,B=1带入(12)和(11)可得到PH,r≤1的拉普拉斯变换为：

LPH,r≤1(s)=exp(-λtcdEh[hδ]Γ(1-δ)sδ).

(13)

其中δ=d/α，为维度和路损指数之比.将A=1,B→∞带入(12)得到PH,r>1的拉普拉斯变换为：

LPH,r>1(s)=exp{λtcd[Eh[1-e-sh]-sδEh[hδ]Γ(1-δ)
+sδEh[hδΓ(1-δ,sh)]]}.

(14)

接收功率的拉普拉斯变换为：

LPH(s) =E[exp(-s(PH,r≤1+PH,r>1))]

=LPH,r≤1(s)LPH,r>1(s)

=exp{λtcd-sδEh[hδ]Γ(1-δ)+

sδEh[hδΓ(1-δ,sh)]}

(15)

命题1.发射机密度为λt的d维大规模泊松网络中，设所有信道服从瑞利衰落，则典型位置接收机到达功率的拉普拉斯变换为，

(16)

证明：表达式(15)的指数部分的第一项为

(17)

第二项为

(18)

其中，2F1(a,b;c,z)为超几何函数[14].将以上结果带入(15)并利用伽马函数的性质Γ(1+δ)Γ(1-δ)=πδ/sin(πδ)即可得证.

3.2 PH的累积分布函数

根据反拉普拉斯变换计算接收功率的累积分布函数如下[15]：

(19)

表达式(16)没有闭式的反拉普拉斯变换，可采用如下的欧拉算法进行数值求逆.

(20)

其中，M用于调节计算精度；

(21)

(22)

数值计算方法可以给出PH的近似分布，但是无法观察各参数对收集性能的具体影响.为此，本部分推导出瑞利衰落信道条件下的一个闭式CDF上界.该结论假设δ=d/α=0.5，可在城市环境(路损指数α=4)的二维网络(d=2)中得到广泛应用.第(4.1)部分的仿真将证明，此上界在感兴趣的较低功率区间是紧致的.

引理1.(接收功率CDF的上界) 假设无线信道服从均值为Pet的瑞利随机分布，发射机构成密度为λ的泊松点过程，且设δ=d/α=0.5，则典型位置接收机的接收功率累积分布函数的上界为：

(23)

(24)

考虑到CDF为连续有界函数，所以对任意x∈R+，

(25)

(26)

将(17)和δ=0.5带入(26)上式，化简后得到：

(27)

将(27)带入(19)，

(28)

综上，本节主要结论包括：

1)如果发射机和接收机均形成d维泊松点过程，且收发机信道增益服从瑞利分布，则典型位置接收功率的拉普拉斯变换有半闭合的表达形式.可以采用欧拉算法进行数值求逆，得到接收功率的累积分布函数；

2)为了观察各系统参数对接收能量分布的影响，本节得出了δ=0.5时接收功率CDF的紧致上界.

4 能量收集性能分析

本节利用得到的接收功率CDF分别计算两个能量收集性能指标：有效能量收集概率和平均可用射频能量.不失一般性，本文考虑一个单位时间内收集的射频能量，因而余下部分将不再区分收集能量和收集功率，且可能交叉使用两种术语.

4.1 有效能量收集概率

根据定义1，给定能量收集器门限Θ，有效能量收集概率可容易地表示为接收能量的互补累积分布函数，即Peeh=1-FPH(Θ).收集门限Θ的典型取值范围应该在-20 dBm至30 dBm之间，取决于具体采用的整流电路和工作频率[17].通常高频射频能量收集器需要的门限功率高，但转化效率也较高.本小节先验证在典型的收集门限范围内，所提出收集功率分布函数的准确性；同时验证分布的上界(23)在该门限范围内是紧致的.最后，将讨论发射机密度、等效发射功率对Peeh的影响.

本文通过Matlab软件进行蒙特卡洛仿真来检验提出的CDF计算方法及上界.系统参数为：发射机空间分布设为λt=0.01和0.001的二维泊松点过程，分别代表超密集网络和一般网络.发射机的等效发射功率为Pet=30 dBm，无线信道的路径损耗系数α=4，信道功率增益服从均值为Pet的指数分布.蒙特卡洛仿真参数为：仿真区域为边长1000米的正方形区域，通过20000次网络实现来估计CDF.

仿真结果如图 2所示.结果表明：

图2 二维网络中有效能量收集概率和收集门限的关系曲线,α=4Fig.2 Effective energy harvesting probability over the energy harvesting threshold in a 2-dimensional network with α=4

1)蒙特卡洛仿真和数值计算的结果十分吻合，这证明本文采用的数学模型是可信的；

2)本文提出的上界在感兴趣的区域(-20dBm～20dBm)十分紧致，和数值计算的结果基本相同.这一结果为下文采用该上界来分析问题提供了支持，可减小分析难度；

3)能量收集器的敏感度对Peeh的影响较大，对于等效发射功率30 dBm的接入点(为Wi-Fi接入点的最大发射功率)，当收集门限高于0 dBm时，密集网络中(λt=0.01)约70%的接收机可以收集能量，而稀疏网络(λt=0.0001)仅有不到1%的有效能量收集概率.

图3 多维网络中有效能量收集概率和收集门限的关系Fig.3 Effective energy harvesting probability over the energy havresting threshold in a d-dimensional network

值得注意的是，本文提出的性能分析框架普遍适用于多维泊松网络.下面将比较网络维度对收集性能的影响.3维无线传感器网络[18]和建筑群内的无线接入点，如Wi-Fi和分布式天线等，都可用3维泊松网络来模拟.虽然3D网络建模过于理想化，但可作为能量收集性能的上界.而一维泊松点过程已被用于线性车联网的建模[19].在仿真中，3D网络的路损指数设为α=4(室内典型值)，1D网络的路损指数设为α=3(室外典型值).等效发射功率Pet=30 dBm，分别考虑了密集和一般网络两种情形.实验结果如图 3所示.可以发现：

1)在多维模型下，数值结果和仿真结果十分吻合，进一步证明了提出模型的正确性；

2)在相同密度下，3D网络的能量收集性能显著高于线性网络.

图4 有效能量收集概率和发射机密度以及等效发射功率的关系Fig.4 Effective energy harvesting probability versus the transmitter density and the equivalent transmitting power

综上，本小节验证了所提出CDF模型和算法的有效性，同时证明了特定系统参数下，EEHP的上界是紧致的.另外，还通过仿真实验验证了一般系统参数下性能估计的准确性.最后，通过数值计算说明了能量收集门限对EEHP的制约关系.有效能量收集概率刻画了大规模网络中可收集射频能量的终端所占比例，但无法描述网络中可收集能量的多少.接下来的部分将计算网络中某个节点的长期平均可收集能量，或者等效表达为，某个时刻全网可用能量的平均值.

4.2 平均可收集能量

接收机天线收集的能量需要经过整流器和电压倍增器之后方可用于对电池或者超级电容充电.影响能量转换效率的因素包括匹配网络，工作频率以及输入功率等.输入功率过低或过高都会降低转换效率.当负载完全匹配时，转化效率才能达到最大[20].由于转化效率与输入功率之间的关系取决于工作频率、匹配网络和所采用的集成芯片的特点等，难以用确定的公式描述，且超过本文研究的范围.本文中假设对所有输入功率的平均转化效率为ηα.得到如下的AHE计算式：

(29)

利用前面得到的接收功率分布函数，可以推导出瑞利衰落信道下的平均可用能量.

命题2.(平均可收集能量)设网络中所有发射机至接收机信道服从均值为Pet的瑞利衰落，发射机位置构成密度为λt的泊松点过程，则典型位置接收机的平均可收集能量可表达为：

(30)

其中，Θ为收集器启动的门限功率，LPH(s)由(16)式给出.

证明：由(28)式，

(31)

表达式(a)为不考虑电路敏感性的平均接收功率.与第3节计算接收功率拉普拉斯变换的方法相同，分两个部分计算平均功率：一部分来自于单位球内的发射机所形成的平均功率，记为μ1；另一部分来自于单位球外的发射机所构成的平均功率，记为μ2.因为两个区域的均值是独立的，所以(a)=μ1+μ2.

先计算单位球内发射机贡献的平均功率.单位球内功率的拉普拉斯变换为(13)，根据均值和拉普拉斯函数的关系，可得μ1为，

(32)

单位球外的平均功率计算需要用到如下已知结论[13]：有限泊松网络干扰功率的n阶累积量为：

(33)

(34)

对于(b)部分的计算，考虑到fPH没有闭合形式，可以采用数值求逆来计算.

(35)

(36)

(37)

第4.1节的仿真结果表明，在收集门限较低区域，PH的概率分布函数完全可由(23)所示的上界来近似.下面给出维度-路损指数比δ=0.5这种特殊情况下的闭合近似值.

引理2.(特殊情形下的近似AHE)若δ=0.5，收集门限功率Θ下的平均可收集能量近似为：

(38)

证明：根据引理1，(31)式中FPH(x)≃FPH(x)，带入(b)得到

(39)

将(34)和(39)带入(31)得证.

图5 平均可收集能量与发射机密度的关系，α=4,d=2.Fig.5 Avergare harvestable energy versus the transmitter density with α=4,d=2

接下来将通过仿真实验验证引理2的准确性，并讨论能量收集门限对系统性能的影响.

图5中比较了不考虑收集门限和考虑20dBm的收集门限下的平均可收集能量.蒙特卡洛仿真区域设为200×200的矩形，网络实现次数为10000次.其他参数为，Pet=1W，路损指数α=4，空间维度d=2.图5中的仿真曲线表明，模拟的性能和分析计算的性能吻合度高，验证了本文所提出的分析方法.此外，通过比较发现，不考虑收集电路敏感性将过高估计AHE，从而影响对无线能量传输效率的分析和判断.

图6进一步说明了发射机密度λt、收集器门限功率Θ对AHE的影响.通过观察图中透明曲面和着色曲面的变化趋势发现，λt越大，理想收集能量和实际可用能量之间的差距越大，当λt=0.4时，两者的差距接近4 dBm.这可以通过(39)说明，该式表明门限一定时不可用能量随密度变大而增加.另一方面，可发现相同发射机密度情况下，AHE会随着收集电路敏感性降低而增大.此现象和(39)式吻合，该式显示不可用能量是门限的单调递减函数.

图6 平均可收集能量和发射机密度及感知门限的关系，α=4，d=2Fig.6 Average Harvestable Energy versus the transmitter density and the harvesting threshold with α=4，d=2

综上，本节提出了计算平均可用能量的数值方法，得到了δ=0.5这种特殊情形下的平均可用能量的闭合表达式.通过蒙特卡洛仿真验证了所提出的解析表达式.最后，通过数值仿真揭示了平均可用能量和发射机密度及能量收集器敏感程度的关系.这些结果将对无线输能网络的能效分析和优化部署提供理论指导.

5 总 结

本文研究了多维大规模网络中收集器功率门限对射频能量收集性能的影响，提出了两个新的衡量收集性能的指标：有效能量收集概率和平均可收集能量.假设收发机位置服从密度不同的均匀泊松点过程，利用随机几何工具对典型接收机的到达功率进行建模，获得了瑞利分布随机信道下接收功率的分布函数和平均可收集能量.分析结果表明，高收集门限会导致充电概率和可收集能量显著减少；同时，在高密集网络中，收集电路敏感性对收集性能影响较大.蒙特卡洛仿真验证了所有分析结论.本文研究结果可为无线输能网络的能量效率分析及网络优化提供参考.本文的下一步工作考虑将相关结论推广到异构无线输能网络和一般衰落信道模型.