基于小波和独立成分分析的去噪自适应算法

白文平，刘宗昂，，鲁加国

（1.91550部队，辽宁大连116023；2.中国电子科技集团第38研究所，合肥230088）

在图像去噪领域，由于含噪图像的来源不同，所含噪声的种类和数量不确定，所以难以寻求一个通用的方法解决各种图像去噪的问题。目前，图像去噪在不同的应用领域有着多种不同的方法。

早期的多数去噪方法属低通滤波器的类型，将具有高频特性的图像噪声在空间域或变换域滤除[1-2]。近期有研究热点集中在非线性变换域去噪[3-5]，然而，无论是傅里叶变换在频率域的平滑，还是小波变换在频率域和空间域上的双管齐下，虽能达到去噪的目的，但同时也造成了目标边缘模糊，且没有自适应性。

在非线性变换领域的研究中，利用高阶统计方法的独立成分分析技术（ICA）[6-7]，因其具备数据适应性特点，在去噪应用中效果显著而得到快速的发展[8-9]。它不需要提前获得噪声的类型和图像的信息，就能得到比较准确的结果，这样的优势自然使ICA技术成为了一个热点的研究方向。

目前流行的用ICA技术来消除复杂噪声的方法主要有：适应性主成分分析（PCA）方法[10-11]、稀疏编码收缩方法[12-13]、ICA混合模型[14]、独立子空间分析[15-16]、多分辨率傅立叶变换独立成分分析等。本文提出一种改进的小波ICA去噪算法，以提高去噪效果。

1 ICA模型

借助PCA对ICA进行说明。假设特征向量x由2种成分x1与x2组成：

使用PCA方法对特征成分进行分离的方法是：通过旋转坐标轴，寻找新的坐标轴方向，使观测数据在新的坐标轴上的投影分量具有最大标准差。此坐标轴方向即主方向，观测数据在该方向上的投影即主成分。显然，主方向上携带了最多的原始数据信息，主方向上的投影称为主成分，可以用来逼近原始数据成分。坐标轴旋转、平移后可表示为：

式（2）中：Cx为x的协方差矩阵；Cy为y的协方差矩阵

利用矩阵A可使其成为对角线矩阵，对角元素则为每个主成分Ym的方差，所有的主成分是互不相关的。上述就是利用PCA方法进行主要成分分离的本质。ICA被研究者们认为是PCA的一个泛化，它不仅仅利用二阶卷积，而是利用了更高阶的卷积来对相互独立的成分进行分离。互不相关的条件比相互独立的条件弱，但对于高斯分布的随机变量而言，互不相关等同于相互独立。

因为多个随机变量的总体分布，比其中一个随机变量的分布更接近高斯分布[17]，所以可以先利用“负熵”来计算变量的非高斯性，用来表示独立成分的分离程度，再用ICA方法寻找缺少先验信息的混合矩阵的逆。负熵表示为：

式（2）中：H(·)表示香农熵函数；xgauss为具有相同协方差矩阵的高斯随机变量x的集合。

通过概率密度估计熵的近似值：

式（4）中：E为理想期望值；x和v为具有0均值、单位方差的随机变量；v同时为高斯随机变量。

使用式（4）前，须对给定的随机变量x进行标准化，比较流行的FastICA算法通常利用2个比较优秀的非二次函数G1进行较好地近似，以实现熵最小化。

2 小波变换和ICA相结合的图像去噪算法

2.1 小波降维

垂直投影[18]技术虽然能够将图像维度降为一维信号，从而提高图像去噪的效率，但是对于某些图像而言，一维信号仍然显得过大。

为了解决这样的问题，将一维信号作为特征向量，利用Morlet小波变换进行降维。小波变换为图像处理工程师提供了一种非常灵活的工具，它不仅取代了傅里叶变换，而且发展为体系完备的一套数学工具。本文为了降低计算复杂度采用一维小波变换来降低特征向量的维度。

小波滤波器通过卷积将信号分解为高频与低频成分：

2.2 小波ICA滤波器

独立成分分析模型的输入只能是矩阵，于是在小波ICA滤波器中，利用小波降维设计输入矩阵。

图像中噪声成分的比例可能随环境的变化而改变，就像独立成分变量的混合比随带通滤波器窗口位置的不同而变化。图1中，s1、s2与s3为观测数据所包含的三个独立分量。窗口T1与T2表示与两个不同的带通滤波器观测窗口，显然，从T1与T2带通滤波器观测窗口中看，s1、s2与s3的混合比例是不同的。

令s1与s2为信号x的2个独立分量，x经线性变换a、b后得到xa、xb，s1a与s1b分别表示来自不同观测xa与xb中s1的分布，s2a与s2b分别表示来自不同观测xa与xb中s2的分布。在独立成分分析过程中，最终将利用s1a与s1b或s2a与s2b的相关性以及s1a与s2a或s1b或s2b的独立性，从观测数据中将s1与s2分离出来。需要注意的是，我们对观测数据中的各成分分量并不存在先验知识，只是将信号中的分量处理成包含尽量多的分量的数据。ICS滤波器就是将小波变换代替上述线性变换，成为一种带通滤波器，但是因为混合图像成分中的独立成分变量以及图像数据的缺失，ICS方法的效果不及ICA方法。

为了从理论上说明小波ICA滤波器检测独立成分的可行性，需有两点作为理论支撑：

首先，必须证明s1a与s1b是相关的，s1a与s1b间的相关函数为：

其次，要证明s1a与s2a是独立的。令

因为有E[s1(t1)s2(t2)]=0，则：

因为s1(t)与s2(t)相互独立，s1a与s2a在任何高阶序数下都不相关，s1a与s2a相互独立。同理可得s1b与s2b也相互独立。

小波变换的定义为：

式（17）中：a为扩张参数；x(k)为数据信息；*表示联合操作。

本文使用基于小波和独立成分分析的方法消除图像噪声，针对的不仅仅是白噪声，而是未知的加性或者乘性甚至是混合噪声，被未知的混合噪声污染的图像很难进行去噪，在ICA的框架下需改变图像的数理统计，修改混合标准ICA模型，调整反馈补偿，使用二阶以及更高阶统计，采用附加ICA模型（MICA）去噪。含有混合噪声的独立源混合模型为：

式（18）、（19）中：Y=[Y1,Y2,…,Yn]T为向量表示的含有噪声的图像信息；x为干净的无噪图像信息；为图像中的混合噪声向量；i代表相应像素位置；为图像的n个独立向量；A为混合矩阵，混合矩阵的逆称为分离矩阵。

去噪的过程分为3个步骤：

1）白化，然后独立成分分析发现一个非线性数据变换矩阵B，使其输出尽可能独立。

式（20）中：U为分离矩阵（归一化矩阵）也就是混合矩阵A的逆；W为白化矩阵。

独立成分分析可以通过高阶图像统计来寻求问题的解。本文使用三阶卷积图像统计的方法，经最小化求解。

2）根据观测窗口的相关性对图像数据与噪声数据进行分离

3）求解混合矩阵的逆对图像进行还原。

3 实验及分析

使用本文提出的小波与ICA相结合的去噪算法、PCA算法和FastICA算法处理相同的噪声图像，比较去噪后图像的峰值信噪比（PSNR）和平均绝对误差（MAE）2个指标，对图像恢复能力与细节保持能力进行评价。测试图像大小为512×512，过滤窗口大小均为3×3。

通过使用被脉冲噪声污染的图像作为实验图像进行对比试验，验证了文本提出的小波ICA滤波器的效率最高。图2显示了对20%脉冲噪声污染的Lena图像的去噪结果，图2 c）～e）中MAE分别为2.79dB、2.36dB、1.93dB。本文方法恢复的图像效果较好，包含较低的噪声，保留了更多的细节，并给出了最小的MAE值。

图2 对脉冲噪声污染的Lena图像去噪的效果比较Fig.2 Comparison of the effects of de-noising Lena image polluted with impulse noise

表1显示了3种方法对包含10%脉冲噪声的图像去噪时PSNR的结果比较。可以看出，本文方法的效果远好于其他方法，可以得到较高的PSNR值。

为了证实本文算法的鲁棒性，图3与图4显示了对于包含10%～60%脉冲噪声的图像处理后的，相应的PSNR的比较和MAE的比较。图3与图4清楚地显示了本文方法优于其他滤波器。

表1 处理10%脉冲噪声图像的PSNR比较Tab.1 PSNR comparison about denoising 10%impulse noise image

图3 包含不同比例脉冲噪声图像去噪的PSNRFig.3 Comparison of PSNR contains varying proportions of impulse noise denoising

图4 包含不同比例脉冲噪声图像去噪的MAEFig.4 Comparison of MAE contains different proportions of impulse noise denoising

本文比较了本方法与其他方法对混合噪声（高斯噪声σ=20脉冲噪声20%）的消除效果，图5显示了对于包含混合噪声（高斯噪声σ=20脉冲噪声20%）Lady图像的去噪效果，如图5所示，图5 c）～e）中MAE分别为16.39dB、15.72dB、14.61dB。本文方法可以得到最好的可视效果，噪声斑点最少，MAE值也最低。

表2显示本文方法对比其他方法给出了最高的PSNR。

图5 对包含混合噪声Lady图像的去噪效果比较Fig.5 Comparison of the effects of de-noising Lady image polluted with mixed noise

表2 去除混合噪声的PSNR对比Tab.2 Comparison of three methods for denoising mixed noise

因为本文提出的算法要进行小波变换、独立成分分析、计算相关性、图像重构，在算法复杂度上高于PCA和FastICA方法，经比较在不同的去噪应用中，计算量增加了4.5%～9.7%。

4 总结

独立成分分析是适合多源数据分析的高阶统计方法，具有数据适应性的特点非常适合图像去噪，在对噪声类型、量级未知的情况下，能够得到较好的去噪效果。本文先用小波变换对图像进行分解，降低特征向量的维度，再用独立成分分析，通过负熵值来评价随机变量的非高斯性，根据观测窗口的相关性对图像与噪声进行分离，最后求解混合矩阵的逆对图像进行还原。对比实验验证了本文提出的方法在PSNR和MAE指标上效果优于PAC和FastICA滤波器，且本文方法得益于ICA的数据适应性特点，不仅对脉冲噪声有效，对脉冲和高斯混合噪声也同样有效。