三孔均质复合碳酸盐岩气藏斜井试井解释模型

孟凡坤，雷 群，何东博，闫海军，邓 惠，徐 伟

（1.中国石油 勘探开发研究院，北京 100083；2.中国石油 西南油气田分公司 勘探开发研究院，成都 610051）

研究非均质碳酸盐岩油气藏试井曲线变化规律，解释储集层及流体参数，通常采用双重或三重介质复合试井模型[1-5]。然而，也有学者考虑到近井带地层裂缝—溶洞发育、远井带仅基质或裂缝分布的地质特征，建立了双孔均质、三孔均质及双孔—三孔等多种不同类型的复合油气藏直井试井解释模型，阐述压力及压力导数曲线变化特征，并进行了实际应用[6-10]。对于斜井试井模型，前人运用点源函数与格林函数法[11-12]、Laplace变换及点源函数叠加法[13-17]，建立了均质、双重介质、三重介质等不同类型的无限大油气藏斜井试井解释模型，分析均质、裂缝型及裂缝-孔洞型油气藏中斜井的压力响应特征。

综上所述，对于双孔均质、三孔均质等不同介质组合的复合油气藏试井模型，其井型为直井，缺乏对斜井的研究。因此，针对以上研究中存在的不足，并考虑高石梯—磨溪地区碳酸盐岩气藏储集层分布特征[18-19]，建立三孔均质复合气藏斜井试井模型，分析表皮系数、井斜等因素对试井曲线的影响规律，旨在为非均质碳酸盐岩油气藏斜井的试井分析提供依据。

1 模型的建立

根据高石梯—磨溪地区地质及开发特征，建立复合碳酸盐岩气藏斜井物理模型（图1）。

图1 三孔均质复合碳酸盐岩气藏斜井物理模型示意图

为了建立恰当的数学模型，需做出以下假设：①气井定产量生产，斜井段完全射开，沿井筒方向气体流量均匀分布，生产前气藏中各点压力均等于原始地层压力；②地层水平等厚，上、下边界封闭，外边界无限大/定压/封闭；③储集层内区为裂缝-孔洞型，基质、溶洞为主要的储集空间，裂缝为主要的渗流通道，基质、溶洞向裂缝的流动为拟稳态窜流，外区为孔隙型储集层；④地层水平和垂直方向渗透率存在各向异性，且内区、外区水平与垂直方向渗透率的比值相同；⑤气体可压缩，忽略储集层岩石和束缚水的压缩性；⑥流动为达西流，忽略重力、毛细管压力的影响。此外，设斜井段位于复合气藏内区，斜井段长度Lw与中心点坐标zw，内区半径R1，地层厚度h和井斜角θ间满足如下数学关系式：

由于内、外区有相同的水平与垂直方向渗透率之比c，即

可建立三孔均质复合碳酸盐岩气藏斜井无因次渗流数学模型。其中，内、外区无因次渗流微分方程为

初始条件为

内、外及上、下边界条件分别为

（2）式—（10）式中，各无因次变量的定义式为

2 模型的求解与验证

2.1 模型的求解

对（2）式—（10）式进行关于 tD的 Laplace变换（（11）式），然后引入Fourier变换与逆变换关系式（（12）式），结合内、外及衔接边界条件，可得不同边界条件Laplace空间中的点源函数解，即（13）式。

在不同边界条件下，（13）式中的Un，Sn，Wn及Vn有不同的表达式，对于无限大边界为

由于产气量沿斜井段均匀分布，因此，根据连续点源叠加原理，对坐标系进行旋转变换，而后对点源函数解（13）式沿斜井段积分，可得斜井段在Laplace空间的无因次压力：

利用杜哈美原理[20]，根据（18）式，考虑井筒储集和表皮系数的影响：

借鉴文献［11］中方法，选择恰当的等效压力点简化计算，运用Stehfest数值反演及贝塞尔函数计算方法[21-22]，在求解（17）式的数值积分后，代入（18）式，即可求得实空间无因次拟井底流压及压力导数。

图2 三孔均质复合模型直井与斜井试井曲线对比

2.2 模型的验证

为了验证模型的正确性，在无限大边界条件下，设井斜角近似为0°，从而可得到三孔均质复合油气藏斜井试井模型压力及压力导数曲线（具体参数参见文献［9］），与常规无限大三孔均质径向复合油气藏直井试井模型[9]对比（图2）。当斜井井斜角近似为0°时，斜井与直井模型试井曲线完全重合，表明本文提出的三孔均质复合油气藏斜井试井模型可简化为传统的三孔均质复合油气藏直井试井模型，进而验证了模型的正确性。

3 典型试井曲线分析

综合考虑研究区地质及开发特征，设定内区无因次半径为1 000，定压/封闭储集层无因次半径为6 000，无因次厚度为300，内区裂缝、外区基质水平渗透率分别为1.0 mD和0.2 mD，水平与垂直方向渗透率比值为4，内区与外区导压系数比为10，裂缝、溶洞储容比分别为0.01和0.10，内区基质、溶洞窜流系数分别为1×10-6和1×10-5，井斜角为50°，井径为0.1 m，井筒储集系数和表皮系数均为1.将上述参数代入模型计算，求得不同边界条件下试井模型解，可绘制典型试井曲线（图3）。

图3 不同边界条件斜井复合气藏典型试井曲线

由图3可看出，典型试井曲线可划分为7个阶段：①井筒储集阶段；②井斜控制阶段；③内区溶洞向裂缝窜流阶段；④内区基质向裂缝窜流阶段；⑤内区向外区过渡阶段；⑥外区拟径向流阶段；⑦外边界反映阶段。与三重介质斜井模型典型试井曲线相比[17]，因模型中考虑了外区的存在，出现了内区向外区过渡阶段和外区拟径向流阶段。而另一方面，与直井三孔均质复合模型典型试井曲线相比[9]，由于斜井井筒与内区储集层接触面积较大，掩盖了内区拟径向流阶段。

4 参数敏感性分析

考虑到实际试井需要，结合所建模型的特点，根据第3章中设定的参数，基于无限大边界模型，着重分析井筒储集系数与表皮系数、内区基质和溶洞窜流系数、内区半径及井斜角等对试井曲线的影响。

4.1 井筒储集系数和表皮系数

设定井筒储集系数为1，10和100，表皮系数为1，2和3，其他参数保持恒定，进而可得到不同井筒储集系数和不同表皮系数下的试井曲线（图4）。从图4中可看出，较大的井筒储集系数会掩盖井斜角控制阶段，且当大到一定程度时，会降低溶洞向裂缝的窜流时间和强度。表皮系数增大，井筒储集阶段“驼峰”凸起程度增大，但对曲线后续渗流阶段影响较小。

图4 井筒储集系数和表皮系数对三孔均质复合气藏斜井压力响应的影响

4.2 内区基质和溶洞窜流系数

不同内区基质窜流系数和溶洞窜流系数下的试井曲线如图5所示，内区基质窜流系数主要影响第二个下凹段，而第一个下凹段主要受溶洞窜流系数的影响。基质窜流系数越大，则表明内区基质与裂缝渗透率差异越大，导致基质向裂缝窜流发生时间越早，在图5a中表现为第二个下凹段出现时间提前；内区溶洞与裂缝渗透率的差异随溶洞窜流系数的增大而扩大，因而使得溶洞向裂缝窜流提前，在图5b中表现为曲线下凹越早。

4.3 内区半径

图6为不同内区半径下的试井曲线，显示了内区半径对试井曲线的影响。当内区无因次半径为1 000时，在内区基质向裂缝窜流阶段，其试井曲线与其他两条曲线并不重合，这表明较小的内区半径可能会影响基质向裂缝的窜流，当内区半径较大时，影响程度较弱，曲线重合。以典型试井曲线划分的流动阶段为依据，随内区半径增大，内区向外区过渡阶段曲线右移，外区系统达到拟径向流阶段的时间逐渐滞后，表明压力传播到内、外区交界面时间不断延迟。

图5 窜流系数对三孔均质复合气藏斜井压力响应的影响

图6 内区半径对三孔均质复合气藏斜井压力响应的影响

4.4 井斜角

给定不同的井斜角（0°，10°，30°，50°，70°和80°），研究试井曲线的变化特征（图7）。当井斜角小于50°时，结合图4b综合分析，井斜角的增大与表皮系数减小，试井曲线有类似的变化规律，均会使“驼峰”凸起高度降低；当井斜角大于50°时，斜井段与地层接触面积较大，因而会出现较为明显的垂向径向渗流，并可能会影响溶洞系统向裂缝的窜流阶段，使溶洞系统向裂缝窜流阶段曲线下移，在压力导数曲线上则表现为一近水平段。以井斜角50°为临界点，试井曲线表现出的不同变化特征与Cinco-Ley等提出井斜拟表皮因子有一定井斜角适用范围是相契合的[23]。

图7 井斜角对三孔均质复合气藏斜井压力响应的影响

5 结论

（1）三孔均质复合碳酸盐岩气藏斜井典型试井曲线可划分为7个流动阶段：井筒储集阶段、井斜角控制阶段、内区溶洞向裂缝窜流阶段、内区基质向裂缝窜流阶段、内区向外区过渡阶段、外区拟径向流阶段以及外边界反映阶段。

（3）较大的井筒储集系数会掩盖井斜角控制阶段，并影响溶洞向裂缝的窜流；内区基质、溶洞窜流系数影响窜流段发生时间，内区半径大小决定压力传播到交界面时间及外区拟径向流阶段开始时间。

（4）井斜角小于50°，井斜产生的负表皮削弱污染表皮的影响，因而使井斜角增大与表皮系数减小有类似的曲线变化规律，可运用直井模型进行近似解释；当井斜角大于50°时，会出现明显的垂向径向流段，并可影响溶洞向裂缝系统的窜流，应采用斜井模型进行试井解释，以提高解释结果的准确性。

符号注释

at，ap——单位变换系数，分别为0.086 4和1.842 0；

Bgi——原始地层压力下气体体积系数；

c——水平方向渗透率与垂直方向渗透率之比;

CD——无因次井筒储集系数；

Cg——气体压缩系数，MPa-1；

Cgi——原始地层压力下气体压缩系数，MPa-1；

Ctf，Ctc，Ctm1，Ctm2——分别为裂缝、溶洞、内区和外区基质综合压缩系数，MPa-1；

h——地层厚度，m；

hD——无因次地层厚度；

I0，K0——0阶变形贝塞尔函数；

I1，K1——1阶变形贝塞尔函数；

Kf，Km2——分别为内区和外区等效渗透率，mD；

Kfh，Kfv——分别为裂缝水平和垂直方向渗透率，mD；

Km1，Kc——分别为内区基质和溶洞系统渗透率，mD；

Km2h，Km2v——分别为外区基质水平和垂直方向渗透率，mD；

Lw——斜井段长度，m；

LwD——无因次井筒长度；

mf，mc，mm1，mm2——分别为裂缝、溶洞、内区基质和外区基质系统拟压力，MPa；

mfD，mcD，mm1D，mm2D——分别为无因次裂缝、溶洞、内区和外区基质系统拟压力；

mi——原始地层压力所对应的拟压力,MPa；

M——外区与内区流度比；

p——压力，MPa；

pf，pc，pm1，pm2——分别为裂缝、溶洞、内区基质和外区基质系统压力，MPa；

pi——原始地层压力，MPa；

p0——标准状况压力，0.101 MPa；

q͂，qg——分别为连续点源流量和气井产量，m3/d；

rD，tD——分别为无因次半径和无因次时间；

rw，r——分别为井径和地层中任一点到井筒中心距离，m；

R1，Re——分别内区半径和储集层半径，m；

R1D，ReD——分别为无因次内区半径和储集层半径；

s——Laplace空间变量；

S——表皮系数；

t，tp——分别为时间和拟时间，d；

Vw——井筒中气体体积，m3；

x，y，z——分别为地层中任一点坐标；

xD，yD，zD——分别为地层中任一点无因次坐标；

xw，yw，zw——分别为井筒中心坐标，m；

xwD，ywD，zwD——分别为斜井中心点无因次坐标；

Z——气体偏差系数；

Zi——原始地层压力下气体偏差系数；

αm1，αc——分别为内区基质和溶洞形状因子，m-2；

ε——无穷小长度，m；

εD——无因次无穷小长度；

η——内区与外区导压系数比；

θ，θ′——井斜角及等效井斜角，（°）；

λm1，λc——分别为内区基质和溶洞窜流系数；

μgi——原始地层压力下气体黏度，mPa·s；

μg——气体黏度，mPa·s；

ξ——无因次积分变量；

ϕf，ϕc，ϕm1，ϕm2——分别为内区裂缝、溶洞、内区基质和外区基质孔隙度；

ωf，ωm1，ωc——分别为内区裂缝、基质与溶洞系统储容比。下标：

c——内区溶洞；

f——内区裂缝；

h——水平方向；

i——可取m1和c；

j——可取m1，f，c和m2；

k——可取f和m2；

m1——内区基质；

m2——外区基质；

v——垂直方向；

1——三孔均质复合气藏内区；

2——三孔均质复合气藏外区。