一种改进的导弹落点预报算法

潘 昶

(中国人民解放军92941部队, 辽宁 葫芦岛 125000)

在导弹飞行试验中，为了实现导弹安全控制，中心机实时数据处理软件需要实时准确预报导弹落点。一方面，通过导弹落点计算脱靶量，用于判断导弹是否击中目标，是试验鉴定和决策的重要依据。另一方面，可以及时发现导弹故障，为避免其残骸落入被保护区及时实施炸毁。因此落点预报的准确性至关重要。在实时落点预报模型中，将导弹被动段的运动视为质点运动，轨迹方程将导弹关机点或头体分离时刻导弹瞬时在发射坐标系下速度与位置的运动参数作为初值条件。导弹的被动段包括再入段和自由飞行段[1]。文献[1]指出，在自由飞行段导弹运动只受地球引力作用，再入段与之相比，仅仅是增加了空气阻力的影响。龙格-库塔法高精度单步算法是比较常用的落点预报算法[1]，该方法是利用弹道实时处理结果给出未来一段时间内的弹道状态及预测精度，涉及到的导弹质量变化与空气阻力参数可以通过飞行试验前的测试获得，是一种以数据采样点频率为步长进行数值积分计算的方法。该方法在计算落点和基于落点实时计算脱靶量上得到了比较好的应用。文献[2]对脱靶量的计算方法及其适用性进行了阐述，提到了上述的计算脱靶量在某些时候误差比较大，产生误差的原因是落点预报的弹道与实际弹道偏差较大，经过发射系到靶船坐标系的转换后，误差表现为脱靶量与实际中靶情况的偏差。如此说来，问题实际上归结于基于“龙格-库塔”法的落点预报算法在某些特殊情况下的适用性有所限制，精度较差。本文针对上述问题，对算法进一步分析和改进，探讨更适合实际任务情况下目标机动的落点预报算法。

1 基于重力动力学的被动段弹道预报模型

被动段开始时，弹头与弹体已经分离，弹头依靠在主动段获得的能量作惯性飞行。导弹在被动段飞行过程中，除受地球引力外不再受任何控制力的推动，只在惯性力作用下作自由抛体运动[2]。导弹被动段在发射坐标系中的质心运动方程为：

(1)

式(1)中：V和X分别为导弹的速度矢量和位置矢量；ωe为地球自转角速度；R0为发射点的地心矢径 ；g为重力加速度；m为导弹的自身质量；CD为阻力系数，无量纲；S为导弹弹头截面积；u是沿着速度矢量方向的单位矢量；h是高程；大气密度一半近为指数衰减函数ρ(t)=e|R0-R|/H0,地球半径R0=6 378.140 km，H0=13.406。

式(1)可进一步展开为：

(2)

当已知主动段关机点tk时刻的位置xk，yk，zk和速度vxk，vyk，vzk时，利用式(2)就可以用数值方法计算被动段弹道。当导弹在正常引力作用下时，g为正常引力加速度，此时弹道方程称为被动段标准弹道，导弹落点为标准落点。此模型适用于认为导弹被动段相当于作自由落体运动，主要考虑了地球引力、哥氏力、牵引力影响，还有空气阻力等，除此之外，不受其他控制力的情况。

2 造成落点偏差的控制力因素

导弹除了受重力和空气阻力外，还有控制力的作用使其弹道实际落点与理论落点产生了很大偏差。如图1所示。点o为导弹关机点，A′和A分别为标准弹道落点和实际弹道落点；dL和dH分别为落点纵程偏差和横程偏差。

3 改进的落点预报模型

由前面分析，考虑导弹被动段仅受地球引力和空气阻力而建立基于“龙格-库塔”微分的算法，已经不能适应落点预报和精确报靶需求[4]。需要改进落点预报数学模型，提高实时落点预报的精度。

被动段对导弹进行动力学建模时，许多因素如导弹的阻力系数、导弹的攻角等未知。导弹的机动也是根据攻击目标的位置实时调整，建立动力学模型时无法涵盖所有不确定因素和受力情况。本文把这些不确定因素都归入到扰动加速度，简化复杂因素，建立模型。

对于控制力的处理，有一种简单方式就是把控制力看成一个未知的输入矢量⎣FxFyFz」T加入被动段导弹状态方程(1)，g是重力加速度g*与控制力的加速度之和，此时g的3个分量为：

(3)

考虑导弹受重力、空气阻力，将式(3)代入式(2)，加速度模型表达式如下：

(4)

(8)

(9)

(10)

依此类推得：

(11)

对导弹被动段的弹道建立运动学模型，寻找偏差与加速度之间的关系；常见的运动学模型有匀速模型、匀加速模型、辛格模型等[5]。再建立动力学模型，求得控制力。

S=V0T+1/2〗aT2

(12)

已知时间变量T，可求得加速度a,由动力学方程F=ma得到控制力。在导弹飞行被动段，加速度实质上不是恒定不变的，而是时间t的函数。仅仅是在“当前”的时间范围内相当于匀加速运动[7]。这种非零均值时间相关模型能更好地反映导弹实际。则

S(t)=V0T+1/2a(t)T2

(13)

由此，用未加控制力的弹道模型式(2)求当前时刻的导弹预报落点，然后与标准弹道的三个坐标轴上分量的均方差作为偏差dX，dY，dZ量代入上式S，根据式(13)，反算ax(t),ay(t),az(t)。根据牛顿第二定律,质点运动的动力学方程为：

F=ma

(14)

由式(14)求得导弹所受的控制力在坐标轴上的分量。

4 实例分析

用历史任务实测数据进行回放，分别用未改进的和改进后的落点预报算法计算导弹落点，将落点转换到在靶船测量坐标系下的相对位置偏差，利用接收自靶船的位置姿态数据，计算预报落点在该靶船惯导甲板坐标系下的位置，可近似求出导弹中靶时刻的脱靶量。将实时计算的脱靶量与实际检靶结果比对,分析算法改进前后计算的脱靶量的误差,结果如表1所示。

从表1可以看出，在其他条件都相同的情况下，改进后的落点预报算法求得的脱靶量误差明显小于改进前的误差，误差值在横向和纵向分别减小10 m左右。充分说明了落点预报算法改进后，精度有很大提高。

表1 改进算法在任务中的应用

5 结论

导弹预报落点与实际落点偏差比较大的原因是由于导弹机动飞行末段受到控制力的影响。基于此，本文加入控制力因素并建立动力学模型，改进了基于龙格库塔算法的导弹落点预报公式，探讨了控制力的求解方法。经试验数据验证，改进后的落点预报算法很大程度上提高了落点计算精度，基于此算法解算的脱靶量精准，为导弹试验任务的快速判决提供了决策依据。