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椭球被平面截得的截面面积

2018-10-10

数理化解题研究 2018年25期
关键词:判别式椭球切点

黄 之

(上海智启教育培训有限公司 200000)

本文首先得到平面截椭球所得的截面的面积,然后提出一些与此相关的问题.其中一些比较繁杂的运算会省略,因为那将耗费很大篇幅.

一、因为容易看到,任何一个平面截椭球,截面必然是椭圆,其在轴截面的投影也是一个椭圆,所以,应该首先得出平面上椭圆的面积的一般公式.

设xOy面上有一条二次曲线为F:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0,首先通过平移变换将它的一次项消去.这只需要设F:a(x-s)2+b(x-s)(y-t)+c(y-t)2+g=0,展开后进行系数对比,得到:

众所周知,当判别式Δ=b2-4ac为负数时F为椭圆,为0时F为抛物线,为正数时F为双曲线(都包括退化情形).(s,t)即是F的对称中心,当判别式为0时F所表示的抛物线的中心在无穷远处.

这样,就可以把任何一个椭圆化为形如E:ax2+bxy+cy2+g=0,下面求E的面积.首先将它的xy项消去,即进行旋转变换.易得:将E绕着原点逆时针旋转θ角后的方程为:

(acos2θ-bsinθcosθ+csin2θ)x2+((a-c)sin2θ+bcos2θ)xy+(asin2θ+bsinθcosθ+ccos2θ)y2+g=0

其中A=acos2θ-bsinθcosθ+csin2θ,B=asin2θ+bsinθcosθ+ccos2θ.

(顺便指出,由此可以得到E有两条对称轴:y=k1,2x,其中k为bk2+2(a-c)k-b=0的实根.)

而且可见G与H的位置关系取决于T′=a2p2+b2q2+c2-r2的正负,当T′>0时交于实椭圆,当T′=0时相切,当T′<0时相交于虚椭圆.

那么,由一中的公式可以得到投影G′的面积为:

三、现在将平面的方程改为一般式K:Ax+By+Cz+D=0.

其中T=a2A2+b2B2+c2C2-D2,当T>0时交线为实椭圆,当T=0时平面与椭球相切,当T<0时平面与椭球交于虚椭圆.

下面将二维的计算结果列出来作对比:

令t=a2A2+b2B2-C2,当t>0时直线与椭圆交于两个不同实交点,当t=0时直线与椭圆相切,当t<0时直线与椭圆交于两个不同的虚交点.

虽然还可以继续计算四维的情形:四维空间中一个三维平面截超椭球所得到的椭球的体积.可是这样的方法显然会使运算量极其庞大!

四、下面来简单的应用一下这个截面面积公式:

1.如果一个平面同时经过椭球

的三个顶点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),求平面ABC截椭球所得的面积与三角形ABC的面积之比.

2.从椭球外一点P看去,看到的区域面积(观察者认为这平面,不理会视觉差异,定义为这个区域的实际面积)为固定数值S,求所有的P构成的轨迹.

设过P作G的某一个切面的切点为P1(x1,y1,z1),则该切面的方程为:

这相当于说,所有的切点都满足下面这个方程:

它是一个平面,故而所有切点都在一个平面上,且切点确定的平面方程就是U.

那么从P(x0,y0,z0)看椭球,看到的就是U截椭球所得到的截面,由文中公式得到:

此问题如果考虑视觉的话,应该会稍微复杂一点,在上述基础上还应乘以某个角的余弦值.

另外,在二维上也可以有类似的问题,比如:

1.从椭圆外一点P看椭圆,总是看到一条长度为定值L的线段,求所有的P构成的轨迹.

2.从椭圆外一点P看椭圆,看到椭圆的视角总是一个给定大小的角(0度至180度),求P点的轨迹.

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