“独立性检验的基本思想及其初步应用”教学设计（一）

王丽

“独立性检验的基本思想及其初步应用”是人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》A版（选修）2-3第一章第二节的内容.作为高中教材课改新增内容，本课涉及数据的收集、数据的处理等统计学的基本知识，虽教学时间不长（1-2课时），但由于贴近实际生活，在高中数学中的地位不可小觑.本课内容在近几年各省新课标高考试卷中屡屡出现，多为解答题形式.

下面呈现三篇“独立性检验的基本思想及其初步应用”教学设计及对比评价，供读者研究或参考.

一、教学背景与内容分析

本节内容是统计知识的进一步应用，并与课本前面提到的事件的独立性一节关系紧密，此外还涉及到与“反证法”类似的思想，建立在统计思想、假设检验思想（小概率事件在一次试验中几乎不可能发生）的基础之上.通常按照如下步骤对数据进行处理：明确问题→确定犯错误概率的上界α及K2的临界值K0→收集数据→整理数据→制列联表→计算统计量的观测值→比较观测值与临界值并给出结论.

二、教学目标分析

知识与技能： 通过对典型案例的探究了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用；了解随机变量K2的含义，并能通过K2的值对两个分类变量进行分析；

过程与方法：借助对实际案例的探究设计解决方案，经历案例分析的过程，体验在解决实际问题时假设检验思想的合理性，提高数据分析能力；

情感、态度与价值观：体验数学与现实生活的联系，增进质疑、探索的勇气和自信，感受探究的乐趣，积累进行统计活动的经验.

三、教学重点、难点

重点：了解独立性检验的基本思想及实施步骤.

难点：（1）了解独立性检验的基本思想；（2）了解随机变量K2的含义，能通过K2的值对两个分类变量进行分析.

四、教学策略与方法

以“问题”的形式层层设疑；用已经学过的回归分析和设置的案例为引，循序渐进地引导学生探究；多媒体辅助教学.

五、教学问题诊断分析

1. K2的结构比较奇怪，出现得比较突然，学生可能会提出疑问.对这个问题的处理，要利用好前面对“比例”和两个分类变量“独立”的分析. K2的具体构造过程比较复杂，无法在课堂上具体推导，可以当做课后学习内容.课堂上只定性指出K2是一个连续性随机变量，服从另一个常见的连续性随机变量的分布——K2分布.统计学家给出的临界值表也是依据积分的方法给出的概率值，与之前学过的正态分布类似.

2. 对独立性检验的基本思想的理解要和反证法做一个对比，可以让学生通过完成表格（印在学案上）对二者的基本思想做比较并加以区别.

3.为什么在表达结论的时候要出现“在犯错误的概率不超过XX的前提下”？原因在于独立性检验的过程中存在一个小小的漏洞，就是假设“在一次实验中，小概率事件不发生”，而事实上小概率事件是可能发生的（用反证法可以推出，如果始终不发生，就是不可能事件了），而正是因为这一点点漏洞，导致独立性检验的结果可能是错误的，但是犯错误的概率不会太大，我们就把犯错误的最大概率等同于小概率事件发生的概率了.

六、教学设计

（一）引入新课

以“吸烟有害健康，劝吸烟者戒烟”为引子，帮助学生快速进入问题情境.

探究：吸烟与是否患肺癌有关系吗？请设计一个调查方案.

问题1：怎样判断两个变量是否有关系？

由定量变量、分类变量，定量变量—回归分析，分类变量—独立性检验引出调查思路.

设计意图：引导学生在解决问题的过程中理解独立性检验的基本思想，让学生主动思考、积极参与、互相指导、互相学习.

问题2：判断吸烟与是否患肺癌的独立性需要哪几项数据？

设计意图：引出列联表以及列联表的定义，强调高中数学只研究2×2列联表.

（二）案例探究

调查报告1：某同学共调查了15个人，不吸烟的13人中没有人患肺癌，吸烟的2人中有1人患肺癌.

设计意图：通过对吸烟者的质疑指出：样本容量越大与总体的近似程度越高，在实际问题的研究中通常要求每一组数据都不小于5.

调查报告2：为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9 965人.

列联表是分类变量的汇总统计表（频数表），一般将每个分类变量只取两个值的列联表称为列联表 .

问题3：观察此列联表，你能从中获取吸烟与患肺癌有关系的信息吗？

通过比重粗略判定两者有关，再由图形（等高条形图、三维柱形图、二维条形图）直观展示，粗略判定两个分类变量有关.

设计意图：引导学生借助已学知识对两个分类变量是否有关进行探究，不同的思路会得出不同的探究结果.

问题4：若用字母代替表格中的数据，在吸烟与患肺癌没有关系这一前提下，a，b，c，d应该满足什么关系式呢？

ad≈bc

从两方面进行分析：（学生分组进行验证）

（1）吸烟者中患肺癌的比重和不吸烟者患肺癌的比重的比较；

（2）事件的相互獨立性P（AB）=P（A）P（B）得出.

因此│ad-bc│越小，说明关系越弱；│ad-bc│越大，说明关系越强.

质疑：“大”的标准是什么？这种判断太粗糙了，抽样调查可靠吗？

设计意图：让学生通过自主探究获得粗略判断“是否有关”的方法，通过吸烟者的质疑突出强调进行独立性检验的必要性.

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量K2=■，其中n=a+b+c+d，为样本容量.

问题5：根据以上分析，若“吸烟与患肺癌无关”，则K2应该——（填“大”或“小”）.由公式计算得到K2的观测值k为56.632，它应该和谁比大小？

问题6：56.632远远大于6.635，这样的情况下，你认为H0成立吗？

问题7：你认为“吸烟与患肺癌有关系”这种判断会犯错误吗？犯错误的概率是多少？

设计意图：一是使学生意识到犯错误概率是进行独立性检验中不可缺少的数据，缺了它将来就没有了参照的标准；二是让学生了解独立性检验中因为有“认为小概率事件不可能发生”的观点而存在漏洞，从而存在犯错误的风险.我们认为犯错误的概率不会超过小概率事件的发生概率，因此在结论中会这样描述：“在犯错误的概率不超过XX的前提下，我们认为XXX.”

实际上借助于随机变量K2的观测值k，建立了一个判断H0 是否成立的规则：如果K≥6.635，就判断H0不成立，即吸烟与患肺癌有关系；否则就判断H0成立，即吸烟与患肺癌没有关系，也称“在样本数据中没有发现足够证据说明两者有关系” .在该规则下，把结论“成立”错判成“不成立”的概率不会超过P（K2≥6.635）≈0.01，即有99%把握认为H0 不成立（强调99%的含义）.

独立性检验的定义：这种利用随机变量K2来判断“两个分类变量是否有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验.

（三）归纳提升

问题8：能否认为在推断错误的概率不超过0.001的前提下得出“有关”的结论？k到底应该和谁比大小呢？

在成立的条件下有：

设计意图：让学生熟悉理解独立性检验的基本思想和K2的不同临界值的作用；解读临界值表，强调根据实际问题需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界，然后查表确定临界值K.

总结并板书独立性检验的一般步骤：

第一步：收集数据得到列联表，提出假设H0：两个分类变量无关；

第二步：利用卡方公式计算随机变量K2的观测值k；

第三步：查临界值表得出结论.：如果k≥k0，就判断“X与Y有关系”，这种判断犯错误的概率不超过P（K2≥k0），否则，就认为在犯错误的概率不超过P（K2≥k0）的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”.

（四）理论对比

设计意图：使学生了解归纳独立性检验的一般步骤，对比体会反证法原理与独立性检验原理，帮助学生更好地理解獨立性检验思想.

（五）习题演练（略）

（六）直击高考（略）

（七）课堂小结

（八）课后思考

1.K2是如何构造出来的？

2.定义W=││，如何用W构造一个判断“X和Y有关系” 的新规则？