基于小初衔接的初中数学单元教学实践

包丽

本节课的设计是在充分研究了小学教材“分数”及初中教材“分式”的基础上进行的.学生在小学阶段已经了解了什么是分数及分数的基本性质、通分、约分、分数的运算等内容，而分式的内容有与之类似之处，由具体的数抽象到一般的式.针对学生小学阶段的基础，我设计了如下单元教学课.

【教学目标】

1.基于实际问题建立数量关系，抽象出分式概念，使学生体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类重要代数式.

2.用“从具体到抽象”“由特殊到一般”“类比”等方法提高学生自主探究能力.

3.通过类比分数的相关知识及研究方法帮助学生建构“分式”的知识框架，掌握相关研究方法.

【教学重点、难点】

重点：1.分式、分式有意义的概念、分式的值；2.了解“分式”的研究方法并初步建构知识体系.

难点：运用类比的方法建构分式的知识体系.

【教学过程】

一、基于实际问题引导学生比较、概括、总结出分式的概念

引例：①我校占地面积12 200平方米，在校学生数是3 700人，则人均占地面积为 平方米.

②长方形面积为s，若长为a，则宽为 .

③一辆汽车匀速行驶a千米用去b小时，一列火车匀速行驶a千米比汽车少用1小时，则这列火车的速度为 千米/时.

④一艘轮船在静水中的速度是30千米/时，江水的速度是v千米/时，则这艘轮船顺流航行90千米所用的时间是 小时，逆流航行60千米所用的时间是 小时.

思考：哪些式子是我们学过的、熟悉的？两类式子有什么相同点和不同点？（小组交流）

以上这些式子都反映了这些具体问题中的数量关系，如中，被除数和除数都是具体的两个整数，因而表示具体的数值，它是我们小学学过的分数；但、、、这几个式子，被除数和除数都是整式，表示一般的数，这类式子叫做分式.

总结：分式的定义：如果表示A，B两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母.

思考：分数与分式有何区别和联系？

分数的分子和分母都是具体的整数，分式的分子、分母由具体的整数推广到一般的整式，并且分母中一定要含有字母，分式比分数更具一般性.所以由分数到分式是由特殊到一般，由具体到抽象.分数是整式，整式和分式都是代数式.

例：下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？

，，，，，，，

结论：分数是整式，含有分数系数的整式不是分式，分式的分母中必须含有字母

总结：分式是反映实际问题中数量关系的一个重要式子，它在解决实际问题中有着广泛的应用.

二、引导学生对实例进行研究，使学生明确学习分式的价值.

在引例③中，火车行驶的速度、路程与时间的关系用分式表示，反过来，分式是不是仅仅表示这个问题中的数量关系呢？如果a表示长方形面积，b-1表示长方形的宽，此时长方形的长也用分式表示.可见同一个分式可以表示多种实际意义.分式是反映实际问题中数量关系的重要式子，在实际生活中有广泛的应用，应通过具体事例让学生明确学好分式相关知识的重要性.

三、在问题的解决过程中探寻“分式的值”“分式有意义”的概念

在引例③中，分式表示火车速度与路程、时间的数量关系，那么火车的速度究竟是多少？如果a=1 200千米，b=11小时，那么火车的速度为120千米/小时.

归纳：这里我们用1 200、11代替了分式中的字母a、b，按照分式运算所得的结果即分式的值.所以120叫做分式当a=1 200，b=11时的值.若a=1 200，b=10，分式的值是多少呢？可见分式的值是随着分式中字母取值的变化而变化的.若a=1 200，b=1，分式的值是多少？此時分式无意义（分母不能为0）.所以求分式的值时，字母的取值必须确保分式有意义.

总结：分式有意义的条件：分式的分母不能为0.当B≠0时，分式有意义；当B=0时，分式无意义.

练习（学生口答并说明解答依据和过程）：

（1）当x 时，分式有意义.（x≠0）

（2）当x 时，分式有意义.（x≠1）

（3）当b 时，分式有意义.（b≠）

（4）当x、y满足关系 时，分式无意义.（x=y）

（5）当x 时，分式的值为0.（x=1）

（6）当x 时，分式的值为0.（x=1）

四、引导学生进行知识的正迁移，构建知识框架，掌握研究方法

思考：（1）= （2）=

（3）= （4）=

你解决这些问题的依据是什么？关于分数我们还学了哪些知识？

分数的基本性质、约分、通分、分数的加减、分数的乘除.通过回顾分数的知识框架构建出分式的知识框架.

你能猜想出我们本章将要研究的内容吗？请用下面的框架图表示.

分式还有一类应用，例如引例④，如果顺流航行90千米所用的时间和逆流航行60千米所用的时间一样，你会求江水的流速吗？这时我们就要用到方程=，这是什么方程？所以对分式的研究除了和小学阶段学习的分数完全类似的部分外，还有对分式方程的研究，这也是分式这一章要研究的重要内容.

五、师生共同小结

（1）本节课研究了哪些内容？研究的过程、方法？

（2）分式就是把分数的分子、分母从具体的整数推广到一般的整式，且在分母中一定含有字母，因此分数不是分式，是整式.

（3）在学习中运用了从具体到抽象、从特殊到一般的分析方法，并对分式和分数进行类比、对比，在学习其他知识时也可以应用这些思想方法.

六、课外作业

必做题：

1.阅读教材，完成129页的练习.

选做题：

1.对于分式，

①当取何值时分式有意义？

②当取何值时分式无意义？

③当取何值时分式值为0？

2.若x2-9=0，求分式的值.

3.已知x2+3x-1=0，求x2++2x-的值.

预习：自学分式的基本性质，下一节课交流自学过程和成果.

【教学思考】

一、小初教材内容的关联性让初中数学部分章节具备单元教学可行性

“从分数到分式”这一小结启发我从分数与分式的关系入手研究“分式”的教学内容、教学過程以及研究策略，立足分数学分式对提高学生的学习水平是很有帮助的.

分数与分式是具体与抽象、特殊与一般的关系.分数用于表示具体的数值，即每个分数都表示为两个特殊整数相除；而分式更具一般性、抽象性，可表示为任意两个数相除.所以，对于具体分式而言，分数是具体的、特殊的对象，分式则是把具体分数一般化后的抽象表示.分式的概念、基本性质等都可以从分数的概念、基本性质等中抽象产生，两者可以分别对应，分数和分式具有一致性，即数式通性.为了让学生进一步理解“客观世界中大量问题需要用到数学研究”，进一步理解“众多数学概念产生于客观实际需求”，进而使学生体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式，我在“分式”概念教学时选用了与学生实际生活相联系的问题作为知识背景，呈现具体的分数和分式。在这样的数学情境中，学生不仅容易对新产生的代数式产生兴趣，而且初步体会到“新知识是由实际需要产生的，又是为解决实际问题所需的”，使接下来引导学生认真观察、思考，通过对比和类比生成分式的定义和有关概念更加容易.

二、小初教材内容的关联性让初中数学部分章节具有单元教学必要性

课堂是师生思想交流的场所，基于分数与分式的内在联系，大多数学生很容易接受分式的内容，但是对知识的理解是散乱的，对所学知识的框架体系是模糊的.在章节起始课进行单元教学可以让学生知道本章将要学些什么，它们之间有着怎样的关系，有助于学生全局观的养成和知识体系的形成.当然，这些框架构建的主体必须是学生自己，教师切不可为方便、省时而越俎代庖，必要时可引导学生类比与迁移，尽量用其较为擅长的方式去掌握知识.

（课题项目：南通市教育科学“十三五”规划2016年度课题：基于小初衔接的初中数学教材整合的研究）

编辑/王一鸣 E-mail：51213148@qq.com