半准素环的X-Gorenstein整体投射维数

2018-10-09赵志兵

吉林大学学报（理学版） 2018年5期

赵志兵

(安徽大学数学科学学院, 合肥 230601)

1 引言与预备知识

目前, 关于Gorenstein同调代数的研究已有许多结果. 作为有限生成投射模的推广, Auslander等[1]在双边Noether环上定义了G-维数为0的模, 并研究了由该类模定义的相关同调维数; Enochs等[2]在一般环上定义了Gorenstein投射模(不需要有限生成的条件)和Gorenstein投射维数等概念, 并对偶地定义了Gorenstein内射模和Gorenstein内射维数; Christensen[3]证明了Noether环上的有限生成模是Gorenstein投射模当且仅当它是G-维数为0的模, 并发现许多经典的同调代数中的结论均可扩展到Gorenstein同调代数中. Bennis等[4]介绍了X-Gorenstein投射模, 统一了一些同调模类, 包括经典的投射模、 Gorenstein投射模和强Gorenstein平坦模等.

本文总设R是带单位元的结合环,R-模均指左R-模. 用R-Mod表示所有左R-模构成的范畴, 分别用pd(M)和id(M)表示M的左投射维数和左内射维数, 用l.gld(R)表示R的左整体维数. 总假设X为包含所有投射左R-模的模类. 分别用P (R)和GP (R)表示R-Mod所有投射模和Gorenstein投射模构成的子范畴. 本文关于“左模”的结果均有对称的“右模”结果.

定义1[4]设X为包含投射左R-模的一个左R-模类, 如果存在一个投射左R-模正合列

P∶=…→P1→P0→P0→P1→…,

使得对任意的X∈X, 均有HomR(P,X)仍是正合的, 且G=Ker(P0→P0), 则R-模G称为X-Gorenstein投射的, 正合列P称为G的一个X-完全投射分解, 用X-GP (R)表示所有X-Gorenstein投射模构成的R-模子范畴.

注11) 易得P (R)⊆X-GP (R)⊆GP(R); 2) 若取X为投射R-模类, 则X-GP (R)=GP(R); 3) 若取X为Gorenstein投射R-模类, 则X-GP (R)=P (R)[5]; 4) 若取X为平坦R-模类, 则X-Gorenstein投射R-模类即为强Gorenstein平坦R-模类[6].

定义2设M为一个左R-模, M的X-Gorenstein投射维数定义为

X-Gpd(M)=Inf{n|∃X-Gorenstein投射分解0→Gn→…→G1→G0→M→0}.

如果不存在这样的X-Gorenstein投射分解, 则约定X-Gpd(M)=∞.

定义R的左X-Gorenstein整体投射维数为l.X-Gglpd(R)=sup{X-Gpd(M)|M为任意的R-模}.

注21) 根据定义易得对任意的左R-模M, 均有Gpd(M)≤X-Gpd(M)≤pd(M);

2) 若X-Gpd(M)<∞, 则X-Gpd(M)=Gpd(M)[7].

若R/J是半单的, 且J是幂零的, 则环R称为半准素的, 其中J是R的Jacobson根[8]. 在经典同调代数中, 文献[9]给出了半准素环的(左)整体维数是由其上单模的投射维数限制, 即一个半准素环的整体维数等于其所有单模的投射维数的上确界. 在Gorenstein同调代数中, 文献[10]给出了一个半准素环的(左)Gorenstein整体维数也等于其上所有单(左)模的Gorenstein投射维数的上确界. 本文证明对于更广泛的情形, 一个半准素环的X-Gorentein整体投射维数由其上单模的X-Gorenstein投射维数限制, 从而统一了经典同调代数和Gorenstein同调代数中的结果.

2 主要结果

0→Jk+1N→JkN→JkN/Jk+1N→0,

于是有导出正合列

显然J(JkN/Jk+1N)=0, 根据假设可得

证明: 1)⟹2)是平凡的, 故略.

由文献[11]中命题3.3和命题3.4可得:

命题3设R是一个半准素环, J是R的Jacobson根, 则下列叙述等价：

1) X-Gpd(R/J)≤n；

2)sup{X-Gpd(S)|S为任意的单左R-模}≤n.

若上述等价条件之一成立, 则有:

3) 对任意的左R-模X∈X,idR(X)≤n.

特别地, 若X-Gpd(R/J)<∞, 则上述3个条件等价.

特别地, 若X-Gpd(R/J)<∞, 则根据3), 对∀i>n及X中任意的R-模X, 均有

于是由文献[11]中命题3.4可得X-Gpd(R/J)≤n. 证毕.

定理1设R是一个半准素环, J是R的Jacobson根, 则

l.X-Gglpd(R)=X-Gpd(R/J)=sup{X-Gpd(S)|S为任意的单左R-模}.

证明: 根据定义, 显然有

l.X-Gglpd(R)≥X-Gpd(R/J).

因此只需证l.X-Gglpd(R)≤X-Gpd(R/J). 若X-Gpd(R/J)=∞, 结论自然成立.

下面假设X-Gpd(R/J)=n<∞. 可断言, 对任意的左R-模M, 均有

X-Gpd(M)≤X-Gpd(R/J)=n.

考虑左R-模B满足JB=0的情形.由于JB=0, 故B可视为一个左R/J-模. 根据假设, R/J是半单的, 从而B是一个投射的R/J-模, 即可得B是(R/J)(I)的一个直和项, 于是根据文献[11]中命题3.4可得X-Gpd(M)≤X-Gpd((R/J)(I))=X-Gpd(R/J). 对任意的一个左R-模M, 设k为使JkM=0极小的非负整数, 注意到该类k总是存在的, 因为J是幂零的. 考虑一簇短正合列

0→Jk-i+1M→Jk-iM→Jk-iM/(Jk-i+1M)→0,

其中1≤i≤k. 利用文献[11]中推论3.7可知, 对任意的1≤i≤k, 均有

X-Gglpd(Jk-iM)≤sup{X-Gpd(Jk-i+1M), X-Gpd(Jk-iM/(Jk-i+1M))}.

而J(Jk-iM/Jk-i+1M)=0, 因此根据上述证明可得

X-Gpd(Jk-iM/(Jk-i+1M))≤X-Gpd(R/J).

于是, 对任意的1≤i≤k, 均有

X-Gglpd(Jk-iM)≤sup{X-Gpd(Jk-i+1M),X-Gpd(R/J)}.

从而递归地可得

X-Gglpd(M)≤sup{X-Gpd(Jk-1M),X-Gpd(R/J)}.

类似地, 由于J(Jk-1M)=JkM=0, 则X-Gpd(Jk-1M)≤X-Gpd(R/J), 因此X-Gpd(M)≤X-Gpd(R/J)=n. 证毕.

令X为Gorenstein投射R-模类, 则X-GP (R)=P (R), 从而一个模的X-Gorenstein投射维数即为其投射维数, 于是下列关于半准素环的整体维数的经典结论成立:

推论1[9]设R是一个半准素环, J是R的Jacobson根, 则

l.gld(R)=pd(R/J)=sup{pd(S)|S为任意的单左R-模}.

令X为投射R-模类, 则X-GP(R)=GP(R), 从而一个模的X-Gorenstein投射维数即为其Gorenstein投射维数, 于是可得:

推论2[10]设R是一个半准素环, J是R的Jacobson根, 则

l.Ggld(R)=Gpd(R/J)=sup{Gpd(S)|S为任意的单左R-模}.

若取X为平坦左R-模类, 则X-Gorenstein投射R-模类即为强Gorenstein平坦R-模类, 类似经典同调维数的定义方法, 可利用左R-模M的强Gorenstein平坦模类的分解定义M的左强Gorenstein平坦维数l.SGfd(M), 从而定义一个环左强Gorenstein平坦整体维数l.SGfgld(R). 利用定理1可得关于该维数的相应刻画.

推论3设R是一个半准素环, J是R的Jacobson根, 则

l.SGfgld(R)=SGfd(R/J)=sup{SGfd(S)|S为任意的单左R-模}.

命题4设R为一个半准素环, 且每个单的左R-模都同构于R的一个左理想, 则l.X-Gglpd(R)=0或l.X-Gglpd(R)=∞.

证明: 假设l.X-Gglpd(R)=n, 0

l.X-Gglpd(R)=n=X-Gpd(S).

根据假设知, S≅I, 其中I为R的一个左理想, 且X-Gpd(I)=n. 考虑短正合列

0→I→R→R/I→0,

由于I不是X-Gorenstein投射的, 因此根据文献[11]中推论3.7可得

X-Gpd(R/I)=X-Gpd(I)+1=n+1,

与R的X-Gorenstein投射整体维数为n矛盾. 证毕.

推论4设R为一个半准素环, 且每个单的左R-模都同构于R的一个左理想, 则

{l.gld(R),l.Ggld(R),l.SGfgld(R)}∈{0,∞}.