U-统计量精确渐近性的注记

高云峰, 谭希丽

(1. 吉林农业科技学院 文理学院, 吉林 吉林 132101; 2. 北华大学 数学与统计学院, 吉林 吉林 132013)

1 引言与主要结果

(1)

其中h(x,y)为对称核函数. 记

μ=Eh(X1,X2)=0,h1(x)=Eh(x,X2),h2(x,y)=h(x,y)-h1(x)-h1(y).

U-统计量是算术平均值的自然推广, 在概率论与数理统计中应用广泛. 目前, 关于U-统计量大样本性质的研究已有很多结果[2-9].

假设条件:

(H1)g(x)为[n0,∞)上具有非负导数g′(x)的正值可导函数, 且g(x)↑∞,x→∞;

本文的主要结果如下:

(2)

如果假设条件(H1),(H2),(H3)成立, 则对于q>s-1>1, 有

(3)

如果假设条件(H1),(H2)成立, 则对于q>s-1>1, 有

(4)

(5)

如果假设条件(H1),(H3)成立, 则对于s>0, 有

(6)

注1满足假设条件(H1)～(H5)的g(x)有很多, 如g(x)=xα,(logx)β,(loglogx)γ等, 其中α>0, β>0, γ>0为某些适当的参数.

注2显然式(4)和式(6)分别为文献[15]中定理2.1和定理2.2的结果. 在式(4)中令s-1=2(r-p)/(2-p), g(x)=xr/p-1, 其中11+p/2; 令s-1=2b+1-2/d, g(x)=(logx)bd+1-d/2, 其中d>0, 1/2

设C表示正常数, 不同之处可表示不同的值.

2 定理的证明

令a(ε)=[g-1(Mε-1/s)], 其中: g-1(x)为g(x)的反函数; M≥1.

命题1定义U-统计量如式(1), 且满足定理1的假设条件. 如果假设条件(H1),(H2)成立, 则有

证明: 利用引理1和引理2, 类似文献[11]中定理2.1, 可知结论成立.

命题2定义U-统计量如式(1), 且满足定理1的假设条件. 如果假设条件(H1),(H2),(H4)成立, 对于q>s-1>p>0, 则有

证明: 类似文献[18]中命题5.1的证明.

命题3定义U-统计量如式(1), 且满足定理1的假设条件. 如果假设条件(H1),(H2),(H4)成立, 对于q>s-1>p>0, 则有

(7)

证明: 显然

其中:

根据引理1和引理3, 当n→∞时, Δn→0. 首先估计Δn1: 由于n≤A(ε)即εgs(n)≤Ms, 从而有

其次估计Δn3: 由正态分布的性质, 可知

最后估计Δn2: 由引理2, 注意到q>1/s>p>0, 有

因此由式(8)～(11), 可得

Δn1+Δn2+Δn3→0,n→∞.

(12)

进而由式(12)、 φ(x)的单调性以及Toeplitz引理[19], 可知式(7)成立. 证毕.

命题4定义U-统计量如式(1), 且满足定理1的假设条件. 如果假设条件(H1),(H2),(H4)成立, 对于q>s-1>p>0, 则有

证明: 注意到q>s-1>p>0, 由引理2, 有

命题5如果假设条件(H1),(H2),(H4)成立, 对于q>s-1>p>0, 则有

证明: 利用正态分布的性质, 类似命题4可证该结论成立.

2.1 定理1的证明

当p=0时, 由于

则由命题1可知定理1成立. 当s-1>p>0时, 注意到

故要证明式(2), 只需证明下列两式成立即可:

(13)

(14)

由命题1可知式(13)成立. 由命题2～命题5以及三角不等式可证式(14)成立, 从而式(2)成立. 式(3)和式(4)的证明类似.

2.2 定理2的证明

定理2的证明与定理1的证明类似, 故略.