高等数学“问题探究式”教学模式探析

秦素平

（河南牧业经济学院理学部，河南 郑州 450000）

高等数学是经济类各专业重要的基础课，不仅是学生掌握一些实用的数学工具的主渠道，更是培养数学思维、数学素质、应用能力和创新能力的重要载体[1]。然而由于经济类专业有很多是文科生，他们普遍认为高等数学枯燥难懂，在学习过程中往往没有兴趣，有部分学生对数学产生恐惧畏缩心理，甚至讨厌而放弃，严重影响教学质量。如何提高学生的学习兴趣，实现高等数学的教学目标，是我们从事高等数学教学的每位教师面临的亟待解决的问题。

现代教学论认为，学生是学习和发展的主体，一切教学活动必须以调动学生学习的主动性、积极性和创造性为出发点，努力培养学生的创新精神和实践能力，千方百计地引导学生主动学习，积极思考，不断实践，使学生能主动地获取知识，和谐自主地发展。[2]本文以现代教学论为依据，结合教学实践，探索基于问题解决建构知识的“问题探究式”教学模式，旨在激发学生思考数学问题的热情，调动学生学习的主动性，增强学生运用高等数学知识的能力，培养学生的理性思维和创新精神，全面提高教学质量。

1 “问题探究式”教学模式的基本思想

所谓问题探究式教学模式，就是教师为学生提供真实的问题情境，学生在教师的引导下，围绕问题运用探究的教与学方式，基于问题解决来建构知识并形成探究技能和态度。问题探究式教学模式是融知识传授、能力培养和素质提高为一体的创新教学模式，是把传统的教师传递学生接受的教学过程变成以学生为主体，以问题解决为中心，探究为基础的师生互动探索的学习过程，其中教师既是组织者、引导者，也是合作学习者,学生在教师指导下通过主动学习和探究获取知识，发展能力。

2 “问题探究式”教学模式的操作程序及实施策略

2.1 创设情境提出问题

创设情境提出问题是“问题探究式”教学法的关键，是思维的起点。教师在设计每一教学内容时，要根据教学目标要求、教学重点与难点，学生的认知基础和已有的知识经验，尽量寻找合适的素材，利用多媒体技术将“形”与“数”有机结合创设图文声像并茂的思维情境，集中学生的注意力。然后引导学生通过观察、分析、抽象，提出与当前学习内容密切相关的富有挑战性的问题，激发学生探究学习的兴趣和求知欲，帮助学生了解问题解决的意义，明确学习目标和要求。

2.2 自主学习探究问题

在通过创设情境提出问题后，学生就进入自主探究解决问题的学习阶段。一般来说，对于一些相对容易、简单的问题，学生会以原有的知识经验为基础，按照自己的思维方式提出一些解决问题的初步想法，自主地学习和解决问题。但多数情况下，学生面对要解决的问题，往往是无从下手，找不到进行思考的入口。教师在这个环节的主导作用是给学生提供一个个可供深入思考的支架。也就是说，教师在这个环节里不仅要把相关的学习资源和获取途径介绍给学生让他们自主学习，还要向学生提供围绕问题解决所设计的系列问题，引导学生去观察、联想、类比、发现，揭示知识规律和解决问题的方法、途径，通过一个个系列问题的解决来一步步实现总问题的解决。

2.3 协作学习解决问题

协作学习实际上发生在学习过程的始终。这里是指在上述系列问题引导下为解决提出的其他相关问题的师生合作，同学间的合作过程。教师可进一步列举同一类型的其他问题事件，通过学生自己迁移或协作解决问题。在这个环节，教师可通过询问、答疑、检查，及时了解和掌握学生学习情况，针对重难点和学生具有共性的问题，进行有的放矢地讲解，尽可能地引发学生深层次的思考和再次地交流讨论，加深每个学生对当前问题的理解。

2.4 总结反思知识建构

在完成问题解决的基础上，老师和学生都要进行深入的反思，教师主要反思问题探究式教学过程中问题设置的情况和组织引导学习中存在哪些问题；学生则通过反思整个探究学习的过程，总结和归纳出获得的知识和方法，并在教师引导下抽象概括成数学理论和方法，提炼出数学模型，使新知识在原有的基础上得到巩固和内化。同时，教师还要鼓励学生对学习成果加以总结和应用，形成新的问题，逐渐培养学生发现问题和提出问题的能力。

2.5 挖掘提炼思想方法

数学知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。数学知识是一条明线，它被明明白白地写在教材里，而数学思想则是一条暗线，需要教师挖掘、提炼和揭示。教师应以数学知识为载体，有意识地引导学生将隐藏在知识背后的数学思想挖掘、提炼、概括出来，使之由隐形态变为显形态，使学生由对数学知识、数学方法的朦胧感受、死记硬背转化为明晰的理解、掌握和灵活运用，最终完成对数学知识、数学方法的本质认识。

3 教学实施案例

导数是微积分的核心概念，从学生所熟悉的实际问题入手，循序渐进、由特殊到一般、由具体到抽象、逐步深入地引出导数定义。

第一环节：创设情境提出问题

情境：一辆行驶的汽车在高速公路上2小时行驶了200千米，用“路程/时间”描述的是什么？如果行驶汽车作变速运动，每个时刻的瞬时速度如何计算？同学们都知道，用“路程/时间”是平均速度，但对每个时刻来说，运动物体行驶的时间和距离都是0，显然不能用“路程/时间”求瞬时速度，否则会出现“0/0”型的问题。由于出现的问题与学生的思维产生了冲突，激起了学生的兴趣，不自觉地进入探究过程。

提出问题：如何求变速直线运动物体的瞬时速度？这里还可列举同一类型的其他问题事例（如变速直线运动的加速度、曲线的切线斜率、边际成本等），使学生明确我们所研究解决的是一类问题，很有必要学习。

第二环节：以系列问题引导学生自主探究

教师引导学生：（1）解决问题的关键是什么？——如何解决分母不能为0的问题；（2）解决问题的思路与方法是什么？——将时间从一点扩充到一个区间，先研究t=2附近的平均速度，再寻求解决问题的方案。

让学生自主计算观察t=2附近不同时间间隔上的平均速度并列表比较，得出t=2秒时瞬时速度是2g（学生用以前学过的公式v(t)=gt验证结果就是2g）。然后让学生计算时间段[2,2+Δt]上的平均速度，根据前面的具体计算，学生在头脑中产生如下思想：把当Δt→0时，平均速度的极限定义为t=2秒时的瞬时速度是合情合理的。在此基础上，引导学生归纳总结出计算方法和步骤。

问题 2：已知变速直线运动的路程函数 s=f(t)，求t=t0时刻的瞬时速度?

学生能用类比的方法从特殊到一般，写出结果。

第三环节：知识迁移解决相关问题

在上述探究过程中，学生通过观察一系列平均速度的逼近变化形成思维的嬗变，升华出瞬时速度的概念，求瞬时速度归结为求无限缩小的时间段上平均速度的极限。这时教师将前面列举的同类型的其他事例，让学生通过自己迁移或相互交流探究解决，并引导学生对平均速度、瞬时速度的认知迁移到平均变化率和瞬时变化率，为下一步建立导数概念做好充分的准备。

第四环节：建构导数概念

这个环节要将具体问题抽象为数学问题，建立数学模型。上述例子的共性是解决非均匀变化变量的瞬时变化率问题，都归结为求函数的增量与自变量增量的比值，当自变量增量趋向于0时的极限。抛开这些问题的具体含义，而只研究它们提供的数学结构，导数概念就水到渠成被引出了。这样，学生通过已有的知识框架建构出了新的知识——导数概念。

第五环节：揭示数学思想方法

解决上述系列问题的相同方法是先用已知方法求变量的近似值，再通过取极限得到精确值。这正是前面学习的“用已知逼近未知，用近似逼近精确”极限思想的具体体现和应用。同时还要强调导数是变量y对变量x的变化率，它预示着当某个量等于变量y除以变量x时，求变化率的问题可以利用导数这个工具。至此，学生真正理解了在已有的平均变化率基础上建构的导数概念的精髓。

4 “问题探究式”教学模式的思考

我们的教学实践证明问题探究式教学是一种行之有效的教学模式，它改变了传统教学模式中教师讲授学生模仿练习的被动学习方式，强调掌握知识的结构和学习方法，有利于学生把握其基本内容，有利于学生学习知识的系统化和结构化，增强了学生学习的积极性和主动性，培养了学生提出问题、分析问题、解决问题和创造发明的态度和能力，发展了学生的直觉思维、归纳思维、迁移能力、科学的探究精神和习惯。当然，问题探究式教学方式要真正得到有效的实施，既需要教师平时积累大量的构建问题所需要的具有实际应用背景的材料，也需要学生愿意主动配合，这样才能更好地实现预期的教学目标。

需要指出的是，问题探究式教学模式不是万能的，我们只有坚持正确的教学指导思想，从数学课程改革的整体上进行综合考虑，依据“教学有法，但无定法”的原则[3]，创设符合高等数学复杂性和动态性要求的多种教学模式，从而实现教学效果的优化。