基于轨迹成型的攻击角度与时间控制

张友安，梁勇，刘京茂，孙玉梅

1. 烟台南山学院 电气与电子工程系，烟台 265713 2. 海军航空大学 岸防兵学院，烟台 264001 3. 山东南山国际飞行有限公司，烟台 265713

随着舰艇反导防御系统的发展和升级，反舰导弹要想突破其层层防御，可以采用饱和攻击策略。这要求参与攻击的多枚反舰导弹能够从不同方向同时到达目标，即反舰导弹制导系统必须具有控制导弹攻击时间和攻击角度的能力。近年来，以饱和攻击为应用背景的导弹攻击时间与攻击角度控制等多约束末制导与协同制导受到越来越多学者的关注[1-5]。文献[6-18]的方法都属于时间与角度反馈控制方法，不属于轨迹成型方法，这里不再详细地展开介绍。文献[19-20]的方法属于轨迹成型方法。相比一般的时间与角度反馈控制方法，轨迹成型方法基于几何学原理，具有方法简明直观、无需假设接近碰撞三角等优点。Zhao等[19]通过轨迹成型的方法来实现同时对攻击时间和攻击角度的控制，但该方法仍然不可避免地需要通过复杂的计算过程实时地计算出待飞轨迹的长度，而且该计算方法默认假设弹道倾角为小角度，但实际的弹道倾角可能为大角度，这时采用这种方法的估计误差将会比较大。Tsalik和Shima[20]根据“当导弹从初始点沿着圆弧轨迹向固定目标点运动时，导弹的当前位置与导弹初始点和固定目标点所形成的圆周角(Inscribed Angle)为常值”的原理，提出了一种新的三点轨迹成型制导，该轨迹成型制导概念可以看成是对经典的三点视线制导概念的推广，但是该方法没有考虑对攻击时间的控制。

本文以气动舵作为控制执行机构的反舰导弹为研究对象，并假设其能够提供圆弧段所需的法向过载,基于Tsalik和Shima[20]的部分研究成果，提出一种轨迹成型方法，在此基础上，提出一种虚拟目标跟踪控制方法，可以同时对攻击角度和攻击时间进行控制。相比于Tsalik和Shima[20]的工作，本文的贡献在于，既考虑了对攻击角度的控制，又考虑了对攻击时间的控制，而Tsalik和Shima[20]的方法没有考虑对攻击时间的控制。

相比于Zhao等[19]的轨迹成型方法，本文的方法是通过一段圆弧加一段直线来进行轨迹成型的，而Zhao等[19]的轨迹成型方法是通过一个特别的拟合多项式来实现的。另外，本文提出的虚拟目标跟踪控制方法,不同于现有的虚拟目标比例导引方法[21]，因为现有的虚拟目标比例导引方法没有考虑对时间的控制问题，而本文的虚拟目标跟踪控制方法既考虑了对所规划轨迹的跟踪，又考虑了对时间的控制问题。这里需要注意的是，虽然通过轨迹成型所规划的飞行轨迹考虑了对时间的控制，但这只是时间控制的第一步。为了实现时间控制，第二步是设计一个合适的虚拟目标沿所规划的轨迹运动(注意虚拟目标在所规划轨迹上的位置是具有时间标记的)，通过适当的控制设计使导弹跟踪虚拟目标，从而实现对时间的控制。而一般的轨迹跟踪控制只需要将导弹控制到规划的轨迹上，不考虑轨迹上不同点的时间标记问题。

1 轨迹成型

根据图1的几何关系，容易得到

ξ=∠AST+∠ATS

(1)

∠ATS=η-θf

(2)

(3)

(4)

(5a)

(5b)

导弹沿整条规划轨迹飞行的时间tf满足：

tf=T1+T2

(6)

2 迭代求解算法

(7)

(8)

(9)

y=yT+kL(x-xT)

(10)

kL=tanθf

(11)

因此，有

ya=yT+kL(xa-xT)

(12)

将式(8)～式(12)代入式(7)，可得

tfVM≈

(13)

假设xT>xa，该假设表示待定的点A(xa,ya)处于目标点T(xT,yT)的左侧，因此，式(13)可进一步写为

(14)

将式(14)两边平方，上述二次方程恰好简化为一次方程:

bxa+c≈0

(15)

式中：

(16)

(17)

容易求出式(15)的唯一的近似解为

xa≈-c/b

(18)

将该近似解记为

(19)

(20)

根据式(6)，可得

(21)

为方便，式(21)进一步写成

(22)

(23)

(24)

(25)

首先处理式(25)右边的最后一项，即

(26)

式中：

(27)

考虑到式(28)和式(29):

Δya=kLΔxa

(28)

(29)

式(26)可进一步简化为

(30)

同理，处理式(25)右边的第1项，可得

(31)

(32)

(33)

将式(30)～式(31)代入式(25)，可得

(34)

由式(34)和式(28)可得

(35)

Δya=kLΔxa

(36)

逼近A(xa,ya)的迭代算法可总结如下：

1) 给定导弹起点S(x0,y0)、目标点T(xT,yT)、导弹飞行速度VM；指定导弹攻击时间tf和导弹末端攻击角度θf；给定攻击时间估计的精度ε。

2) 计算下列各式

kL=tanθf

η=arctan[(y0-yT)/(x0-xT)]

(yT-y0-kLxT)2

3) 计算下列各式

∠ATS=η-θf

Δya=kLΔxa

4) 按步骤3)再算一遍，类似算得

5) 计算均值

7) 迭代结束。

上述迭代算法实质上是先将非线性代数方程在近似解处线性化(注意当近似解误差较大时，线性化模型误差也较大)，再通过求解线性代数方程得到近似解与精确解之间的偏差，并利用这一偏差对近似解进行修正(更新)，得到一个较精确的近似解，再将非线性代数方程在这个较精确的近似解处线性化(较精确的近似解处对应的线性化模型误差也较小)，随着迭代过程的进行，线性化模型误差越来越小，最终可得到一定逼近精度的数值解。这里的迭代算法依据直观的经验法则，虽然未能针对迭代算法给出严格的收敛性分析与证明，但实践证明这种处理方法的确非常有效。本文迭代算法的处理思路与文献[22]的处理思路有点类似，但要解决的问题不同,文献[22]是为了估算惯性导航位置误差。

3 轨迹跟踪

假想虚拟目标与导弹同时从导弹起点S(x0,y0)出发，它们的飞行速度大小相同。虚拟目标严格沿着规划的轨迹飞行。如果导弹与虚拟目标的初始速度方向相同，它们受到的侧向加速度也相同，则导弹也严格沿着规划的轨迹飞行，虚拟目标与导弹的位置在任何时刻都是重合的。但在实际飞行中，虚拟目标与导弹的初始速度方向可能不相同，使其飞行轨迹偏离规划的轨迹。

本文针对圆弧段提出一种基于虚拟目标的迹跟踪控制方案——一种前馈加反馈的复合控制方案，前馈控制量即虚拟目标的侧向加速度，反馈控制即虚拟目标与导弹的飞行航迹角之差的比例控制。考虑到军舰是可以移动的，且反舰导弹的命中精度又必须足够高，因此，通过圆弧段虚拟目标轨迹跟踪控制、基本满足到达时间和攻击角度的要求之后，在直线段必须切换到导引头末端导引——一种带角度控制的比例导引方案，直接攻击真实目标，以保证足够的命中精度。

1) 圆弧段的轨迹跟踪控制

虚拟目标的运动方程为

虚拟目标的初始条件为

初始位置：(xt(0),yt(0))=(x0,y0)。

∠ATS=η-θf

ξ(0)=∠AST+∠ATS

虚拟目标的初始飞行航迹角为

θt(0)=ξ(0)+∠AST+η

T1=(2R/VM)ξ(0)

导弹的运动方程为

导弹运动的初始条件为

(xM(0),yM(0))=(x0,y0)

θM(0)=θt(0)+ΔθM(0)

式中：ΔθM(0)为假设的导弹的初始航向误差。

转弯段制导律为

aM=at+kp(θM-θt)

(37)

下面基于Lyapunov稳定性理论对式(37)所示的转弯段制导律进行严格证明。

根据Lyapunov稳定性理论，制导律式(37)能够迫使导弹沿着圆弧段飞行且使θM→θt。

2) 在直线段带角度控制的比例导引

(38)

4 可能的轨迹成型情形及可行的攻击时间

根据弹目相对位置关系及落角的正负，有4种可能的轨迹成型情形：情形A、情形B、情形C、情形D(详见下文)。

情形A对应于图1，目标点T(xT,yT)在导弹起点S(x0,y0)的右边，xT>0,yT≥0或者yT≤0,θf<0，这时

π/2>∠ATS=η-θf>0

θt(0)=ξ(0)+∠AST+η

情形B对应于图1关于横坐标轴镜像对称，目标点T(xT,yT)在导弹起点S(x0,y0)的右边，xT>0,yT≥0或者yT≤0,θf>0，这时

π/2>∠ATS=θf-η>0

θt(0)=-ξ(0)-∠AST+η

情形C对应于图1关于纵坐标轴镜像对称，目标点T(xT,yT)在导弹起点S(x0,y0)的左边，xT<0,yT≥0或者yT≤0,θf>0，这时

π/2>∠ATS=θf-η>0

θt(0)=π-ξ(0)-∠AST+η

情形D对应于图1先关于纵坐标轴镜像对称，再关于横坐标轴镜像对称，目标点T(xT,yT)在导弹起点S(x0,y0)的左边，xT<0,yT≥0或者yT≤0,θf<0，这时

π/2>∠ATS=η-θf>0

θt(0)=π+ξ(0)+∠AST+η

下面估算可行的攻击时间范围。

可行的攻击时间tf的取值范围为

tf≥tf,min

(39a)

tf,min=(dST/VM)×(∠ATS/sin∠ATS)

(39b)

式(39a)～式(39b)虽然是由图1得到的，但对于情形A～情形D都是适用的。

5 仿真分析

不失一般性，取导弹M为原点(0,0) m，取迭代算法中攻击时间估计的精度ε=0.01 s,仿真步长取为0.001 s。轨迹跟踪控制与末制导律中，取kp=2 000,kz,p=2.5,kz,d=2.5。本节对文中4种情形均进行了仿真验证。

5.1 情形A

取目标T(5 000, 1 500) m，θf=-30°,tf=13 s，导弹初始飞行方向相对于理想规划轨迹的偏差为ΔθM(0)=30°，导弹速度VM=500 m/s。仿真结果如图2所示。用迭代算法迭代2次得到逼近点A(xa,ya)的坐标为(4 017.6, 2 067.2) m，ξ(0)为57.2°，导弹的时间控制误差不超过0.124 5 s。导弹相对于目标的脱靶量为0.236 9 m(实际脱靶量应该远小于该值，因为其值受到所取仿真步长大小的影响)。

本文仿真过程中没有考虑导弹过载受限的情况。如果导弹过载受限,必然会延长将导弹实际飞行轨迹控制到理想飞行轨迹的时间，从而产生一定的时间控制误差。当导弹过载受限不大时，例如，在图2(b)中，如果导弹过载限幅是8g，则导弹过载出现饱和的时间很短，约为0.1 s，这时对时间控制误差的影响不大。但如果导弹过载能力严重不足，例如限幅到2g，则导弹过载出现饱和的时间较长，达到约0.6 s，这时对时间控制误差的影响较大。为了避免出现这种情况，需要尽量减小导弹初始速度方向误差，使其尽量与规划轨迹的初始切线方向一致，从而降低初始时刻导弹的过载需求。

5.2 情形B～情形D

情形B的仿真分析取目标T(5 000, -1 500) m，θf=30°，其他参数同情形A。仿真结果如图3所示。用迭代算法迭代2次得到逼近点A(xa,ya)的坐标为(4 017.6, 2 067.2) m，ξ(0)=57.2°。

情形C的仿真分析取目标T(-5 000, -1 500) m，θf=30°，其他参数同情形A。仿真结果如图4所示。用迭代算法迭代2次得到逼近点A(xa,ya)的坐标为(-841.1, 901.2) m，ξ(0)=77.0°。

情形D的仿真分析取目标T(-5 000, -1 500) m，θf=-30°，其他参数同情形A。仿真结果如图5所示。用迭代算法迭代3次得到逼近点A(xa,ya)的坐标为(-4 018.8, -2 066.5) m，ξ(0)=57.2°。

由仿真曲线可以看出，各种情形都得到了正确的仿真结果。

6 结 论

1) 给出了一种同时满足攻击角度和攻击时间约束的轨迹成型方法及其迭代求解算法。

2) 给出了一种基于虚拟目标跟踪的圆弧段轨迹跟踪复合控制方法，结合直线段的带角度控制比例导引方法, 可以在满足时间与角度控制约束前提下准确命中目标。

3) 分析总结了4种可能的轨迹成型情形及可行的攻击时间范围。

导弹在实际飞行过程中，除了虚拟目标与导弹的初始速度方向可能不一致之外，导弹还可能受到外界的干扰(例如风的干扰)，导弹的飞行速度也可能是时变的，目标也可能是运动的，这些因素都会直接导致产生时间控制误差。如何进一步将本文的离线轨迹成型算法扩展成为在线轨迹成型算法，以消除上述因素产生的时间控制误差，是值得进一步研究的问题。