现实数学：让儿童与数学深度遇见

韩秀娟

摘 要：“现实数学”是荷兰数学教育家弗赖登塔尔的基本思想。“情景”是现实数学的教学载体，“数学化”是现实数学的教学方式，“有指导的再创造”是现实数学的教学旨趣。在教学实践中，教师要创设场景、引领创造、建构学生的“可能生活”。

关键词：现实数学；数学现实；情景；数学化；再创造

“现实数学”不仅是一种教学理念、教学思想，更是一种教学方式。“现实数学”是荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔所提出的教学主张。从20世纪60年代末起，弗氏就一直致力于“现实数学”教育改革研究，在全世界数学基础教育领域产生了广泛而深远的影响。一直到今天，弗氏教育思想依然熠熠生辉，历久弥新。那么，我们应该怎样理解“现实数学”？“现实数学”思想对当下小学数学教学有怎样的启示？

一、“现实数学”的思想内涵及其教学意义

弗赖登塔尔认为，数学不是符号游戏，而是人们对现实世界、现实生活的经验总结。数学源于生活，生活是数学的根基。离开现实世界，离开生活，数学就是无源之水、无本之木，儿童数学更是如此。其中，“情景”是现实数学的载体，“数学化”是现实数学的教与学方式，“有指导的再创造”是现实数学的旨归。

1. 情景：“现实数学”的教学载体

情景既是“现实数学”的载体，也是“现实数学”的根基。在“现实数学”教学中，教师应当将数学知识镶嵌于情景之中，让儿童从情景中获得启示。因为现实世界没有纯粹的数学问题，所以教师在教学中也不宜运用纯粹数学问题让学生探究。“情景”是沟通、联结数学与儿童的桥梁、纽带，也是儿童研究数学的场域。一方面，情景要能激活学生的学习兴趣，引发学生的认知冲突，唤起学生的探究激情；另一方面，情景必须内蕴数学本质，能够引发学生深度思考。教学中，教师可以采用“情境串”“信息窗”等形式，帮助学生打开一扇扇通往大千世界的门窗。

2. 数学化：“现实数学”的教学方式

“数学化”是弗赖登塔尔“现实数学”最为重要的教学方式。所谓“数学化”，就是数学组织现实材料过程。“数学化”包括“横向数学化”（水平数学化）和“纵向数学化”（垂直数学化）。所谓“横向数学化”，即是让学生将现实世界问题（现实问题）转化、发展、提升为数学问题；所谓“纵向数学化”，即是在数学世界里运用数学符号对数学问题做进一步抽象化处理。弗氏深刻指出，“与其说是学习数学，毋宁说是学习数学化；与其说是学习形式，毋宁说是学习形式化；与其说是学习公理，毋宁说是学习公理化”。

3.有指导的再创造：“现实数学”的教学旨趣

所谓“再创造”，就是由学生本人将数学知识的产生过程创造出来。“现实数学”认为，数学是最容易创造的一门学科，每个学生都应该按照自己的特点将数学知识创造出来，进而达到每个人都不尽相同的数学现实。弗氏认为，“学习数学的唯一方法就是再创造，再创造应当贯穿于数学教学始终”。通过“再创造”数学活动，充分发掘每个学生潜在的数学发现力，让学生经历从具体问题到抽象概念、符号的自然转化。

应当说，“现实数学”的思想内涵是深刻的，对小学数学教学有着现实的指导意义和借鉴价值。在数学教学中，教师引导学生去发现、探究，重蹈人类探究数学知识的关键步伐，让学生学会学习。那种“掐头去尾烧中段”的快餐式的数学教学方式，弗氏认为是“教学法的颠倒”。也正如笛卡尔与莱布尼兹所说，“……知识并不是只来自一种线性的，从上演绎到下的纯粹理性……，真理既不是纯粹理性，也不是纯粹经验，而是理性与经验的循环。”

二、“现实数学”的教学策略及其路径探寻

康德说，“没有经验的概念是空洞的，没有概念的经验是不能构成知识的”。在“现实数学”教学中，教师要引领儿童在“现实”和“数学”之间穿行，让学生经历从“现实”到“问题”、从“符号”到“概念”的转化。只有经历两个层次的数学化，儿童才能真正理解数学，同时，也才能真正学会运用数学知识解决现实问题。

1. 创建场景，让儿童与数学深度相遇

弗氏在《数学教育再探》中认为，场景既可以是有意义的情境，也可以是一个真实或虚构的故事，还可以是师生创造的现实等。场景既是学生的“理解场”，也是学生的“探究场”“实践场”。“场景”唤醒了儿童现实的或潜在的大量的缄默性数学知识，缩短了数学知识客体和儿童主体之间的距离。

教学苏教版小学数学三年级上册《间隔排列》，教材中以主题图形式呈现——“兔子和蘑菇”“夹子和手帕”“木桩和篱笆”。应该说，教材中主题图的内容是丰富的，能够构建学习情景。主题图有助于学生观察，但学生却缺乏操作感受。为此，笔者在教学中取了几根短绳，让学生打结。学生从两根绳子开始探索（找规律的一般方法——以小见大）：2根绳子1个结；3根绳子2个结；4根绳子3个结；……结合主题图，孩子们发现：绳子和结、兔子和蘑菇、夹子和手帕、木桩和篱笆都相差1。原来，两端物体相同，两端物体比中间物体多1 。“为什么会相差1呢？”问题现象引发了学生的深度思考。通过对主题图的圈画，孩子们发现：两端物体相同时，一组一组地将两种物体圈起来、对应起来，最后两端物体比中间物体确实多1个。学生萌发猜想：如果两端物体不相同呢？如果让这根绳子首尾相连呢？在场景中，学生深度体验、感受，展开观察、操作、思辨等数学活动，归纳总结出“间隔排列”的规律。在“两端物体相同”的基础上拓展延伸，进而突破难点、解决问题。

著名思想家爱因斯坦所说，“教育应当使所提供的东西让学生作为一种宝贵的礼物来领受，而不是作为一种艰苦的任务要他去负担”。通过情景创设，儿童在真实或者拟真的知识境脉中识别、探寻。学生不仅获得“学业智力”，而且获得“工作智力”，不仅获得“学业思维”，而且获得“实践思维”。

2. 引领创造，让儿童与数学结伴而行

小学数学与高等数学是不同的。高等数学的知识可能远离学生的经验，但小学数学是貼合儿童经验的。弗氏深刻指出，因为数学常识是可靠的、准确的，儿童完全可以根据自己的常识进行数学“再创造”。由于儿童在生活、活动中积淀了大量的数学经验，因此教师可以引领儿童数学“再创造”，让儿童与数学结伴相行。儿童数学“再创造”的过程同时也是儿童“数学化”的过程。

例如苏教版小学数学四年级下册的《用数对确定位置》，在学生理解了“列”和“行”的意义基础上，笔者首先出示班级座位情景图，让学生描述班级座位图中的李小林的位置。有学生说第4列第3行，有学生说第3行第4列，学生对这两种表示方法都很认同。接着，笔者快速展示班级其他学生的位置，让学生记录。有学生认为老师放得太快了；有学生认为应该简化写法。应该说，学生数学“再创造”的需求已经产生。于是，笔者让学生再次用自己的方式表示李小林的位置。学生表示的方法丰富多样，如“3-4”“3，4”“4-3”“4，3”“4○3”“4☆3”等。在学生对数学进行再创造的基础上，笔者出示“数学规定”：列在前，行在后，并且中间用逗号隔开。通过数学“再创造”，孩子们感受、体验到数学规定的合理性、科学性。

在数学教学中，教师要相信学生有“再创造”的潜质，创设情景引发学生的“再创造”心理需求。弗氏认为，数学教学目标有两个：一个是“实体”，一个是“精神实体”。在上述案例中，“用数对确定位置”是实体，而“为什么用数对确定位置”则是精神实体，在弗氏看来，精神实体比实体更为重要。

3. 建构生活，让儿童与数学共生共长

所谓“可能生活”（赵汀阳语），是指儿童对数学知识、文化的“再创造”生活，也是儿童运用“有价值的数学”参与日常实践的生活。建构“可能生活”，能够让儿童与数学共生共长。在“现实数学”教学中，教师要做儿童的“共同遭遇者”，有时要将自己隐藏起来，甚至要主动“示弱”。因为，只有蹲下身子，才能和儿童肩并肩共同欣赏数学园地里美丽的风景。

例如教学苏教版小学数学五年级下册《圆的周长》，笔者首先和学生一起复习长方形、正方形的周长，激活学生的已有知识，即长方形的周长与长和宽有关，正方形的周长与边长有关。由此激活学生的前拥知识，引导学生主动猜想：圆的周长应该与圆的直径或者半径有关。接着，让学生主动测量圆的周长。于是，有学生用滚圆法，有学生用绕圆法。这时，笔者用旋转法产生轨迹圆，激发儿童认知冲突、认知心向。学生发现，这个轨迹圆的周长是无法直接测量的。同时，通过滚圆法、绕圆法的测量，学生发现：半径小的圆，周长也小；半径大的圆，周长也大。由此，学生进一步展开合理猜想：圆的周长和圆的直径的商是否一定呢？经过小组合作，计算出圆的周长是直径的3倍多一些，是半径的6倍多一些。为什么每一次的商不相同但相差不大呢？学生进一步展开深度思考。在不断建构可能的数学生活中，学生不断地发展、提升着自我的数学思维。将学术形态的数学转化为教育形态的数学，将教育形态的数学转化为生命形态的数学。

“现实数学”教学，让学生从自我的数学前见、数学前理解出发，不断刷新自我的数学视域，不断敞亮自我的数学学习的可能生活。学生不断地经历着数学化，不断地展开数学再创造，成为一个真正意义上的发现者、探索者、创造者。学生通过数学学习，不断创生着自我的数学可能生活。

数学教学要从学生的数学学习现实出发，关照学生的学习现实、生活现实、思维现实、情感现实和实践现实等，这是“现实数学”教學的基础。借鉴弗赖登塔尔的“现实数学”教学思想，能够推进数学教育改革，培育学生的数学“核心素养”，让每个学生的数学现实不断升级！