北京钟楼声效应初探——以永乐青铜古钟为中心

杨 阳 丁 宏

(1.山西大学科学技术史研究所，太原 030006；2.山西大学音乐学院，太原 030006；3.太原理工大学马克思主义学院，太原 030024)

钟楼，由谯楼*谯楼指古代在城门上建造的瞭望楼。汉以降，古人筑城必建谯楼。《三国志·吴志·吴主传》载：“诏诸郡县治城郭，起谯楼，穿堑发渠，以备盗贼”。现存谯楼有始建于明洪武元年(1368)的安徽安庆谯楼、始建于明成化年间(1465～1478)的湖北襄阳谯楼、始建于明洪武七年(1374)的山西代县谯楼、始建于元代至正九年(1349)的江苏南通谯楼、始建于明洪武三年(1370)的河南临颍谯楼等。演变而来，为古代报时建筑，宋见于宫城，元也见于都城，明又见于庙宇，常与鼓楼并置。*《宋史》载：“漏刻，周礼挈壶氏主挈壶水以为漏，以水火守之，分以日夜，所以视漏刻之盈缩，辨昏旦之短长。……国朝复挈壶之职，专司辰刻，署置于文德殿门内之东偏，设鼓楼、钟楼于殿庭之左右。”(《宋史》卷70《律历志三》，北京：中华书局，2000年，第1075页)明清以降，钟楼几乎遍布庙宇或州县治所。现有钟楼遗存主要分布于北方，如金大定年间(1161～1389)建造的保定钟楼、明洪武十七年(1384)建造的西安钟楼、明嘉靖年间(1522～1566)建造的平遥双林寺钟楼、明代建造的五台山显通寺钟楼、乾隆十二年(1747)建成的北京钟楼等。其中最有名的是北京钟楼，始建于元代至元九年(1272),现所见为乾隆十二年复建，通高48米，比西安钟楼还高出12米。其上所悬永乐大铜钟，通高5.55米，重63吨，是西安碑林中唐代景云钟高度的2.25倍，重量的10.5倍，比北京大钟寺现存永乐大钟还高1米、重16.4吨，为国内古钟之最高、最重[*]1957年10月入选第一批北京市文物保护单位，1996年11月入选第四批国家重点文物保护单位。。据史料记载，该钟楼钟声铿锵有力、浑厚绵长，可表天地“元音”[*]元音，溢美之词，某种程度上也表达了古人对钟声的希冀或感受。，且有“都城内外十有余里，莫不耸听”之效。[*]乾隆十二年(1747)《御制重建钟楼碑记》。该碑现存北京地安门钟楼。

北京钟楼的声学效应与其古钟和楼腔的声学特性有关[1]，本文主要分析其古钟的声学特性，之后另文再分析其楼腔的声学特性。曾有学者对现存于大钟寺的永乐大钟进行有限元分析[2]，本文与之不同，是从北京钟楼的声学效应出发，测试分析古钟钟腔、钟体及钟声的声学特性，进而诠释其对钟楼声学效应的影响。

1 声学效应及古钟的声学构造

钟楼的声学效应与古钟本身的声学特性密切相关，而古钟的声学特性又与其材料、结构、形制相关。换言之，古钟的材料、结构、形制特性决定古钟的声学特性，古钟的声学特性决定钟楼的声学效应。

1.1 声学效应

图1 北京钟楼外形图(南侧)

北京钟楼始建于元至元九年(1272)二月[3]，位于宫城中轴线最北端，都城的中心地带，“(中书)省东，鼓楼北”[*]鼓楼时称“齐政楼”，“正居都城之中”。钟楼位于鼓楼北，距离极近，亦在元大都都城中心。[4]。明洪武元年(1368)八月，明军攻取大都时钟楼被毁，永乐十八年(1420)重建。[5]乾隆十年(1745)钟楼再建(图1)。

元代熊梦祥《析津志》载，钟楼“阁四阿，檐三重，悬钟于上，声远愈闻之”[4]。元大都南北长7.6公里，东西长6.7公里，钟楼居大都中央，说明钟声在静夜可传7.6公里。明永乐年间新铸铜钟，盖因钟楼“亟毁于火”[5]，无明代钟楼声学效应的记述。乾隆十二年(1747)砖石再筑钟楼后，悬永乐大钟于其上，京城内外皆可听闻。另有文献记载，天气晴朗时该钟声可传40里。[6]清人以为，圆柱形“万钧洪钟”，其声铿锵有力、浑厚绵长可发天地“元音”，也可做声音信号，以报时辰更点，节度百姓作息。[*]乾隆十二年(1747)《御制重建钟楼碑记》。由元、清两代声学效应的记述可知，元代古钟的钟声即可远传，但永乐古钟的声音传得更远。钟声的传远性与其响度和频率相关；铿锵有力和浑厚绵长与其音质和衰减时间相关；钟声可表天地“元音”，既与其响度相关，也与其低频结构相关。需要说明的是，此处讲的钟声声学效应，是北京钟楼古钟和钟楼楼腔共同作用的结果。但本文仅分析古钟声学特性对此声学效应的影响，而不涉及楼腔对此声学效应的影响。

1.2 古钟的声学构造

图2 永乐年间铸造的圆柱形青铜古钟(东侧)

图3 古钟结构示意图

表1 古钟超声波测厚结果1)

1) 1989年4月北京科技大学吴孚元测试记录，0毫米和80毫米处的厚度略加修正。参见北京东城区政协学习和文史委员会编《钟鼓楼》，北京：文物出版社，2009年，第 52页。

2 声学测量

从发声过程看，用钟杵撞击铜钟，钟体受力后开始振动，快速扰动钟腔内空气共振并将钟体振动信号转化为空气波动信号，经钟腔反射、汇聚乃至共振后，由喇叭口向外辐射，进入楼腔后再经楼腔反射、汇聚和共振，终由券洞传出。钟腔和楼腔对声音的影响已有学者提及，称钟腔为Internal cavity，称楼腔为Auxiliary cavity。[7]由此，欲分析钟楼的声学效应，需先分析钟体振动、钟声及楼腔的声学特性。事实上，青铜古钟声学特性的分析，包括钟体的振动特性、钟腔的频响特性和钟声的声学特性三个方面。通过声学测量，才能分析青铜古钟的钟体、钟腔的声学特性，进而揭秘钟楼声学效应的生成机理。

2.1 测量方案及参数设定

据声学原理，表征声音响度的声学参数为钟声的声压级，表征音质的声学参数为钟体、钟腔和钟声的固有频率。用声压级可描述钟声客观振动强度，反映主观听感响度的大小，计算其传声距离，以表征其传远性；从固有频率的分布、幅度、结构特征可描述其频域特性，从声音在固有频率处的衰减时间可描述其时域特性，时域频域特性共同表征其音质[8]。

参照《厅堂扩声特性测量方法》(国家标准GB /T4959- 2011)的要求，2017年1月28日上午10点测量时，我们采用鱼形钟杵撞击自由悬挂铜钟之西侧喇叭口处发声[*]喇叭口处钟体较厚，频率较低，撞击此处易激发低频。下文声学效应分析中关于频率结构对钟声传远性分析部分将讨论此原理。，用瑞士NTI公司生产的M4260 测量麦克风及 XL2 音频与声学分析仪，测其145米处的峰值声压级；4月17日[*]安排此次测量的原因主要是使用NTI公司生产的XL2 音频与声学分析仪不能分解钟体振动、钟腔空气振动和楼腔空气振动的声学特性。，我们先后采用气球破裂和钟杵撞击两种激发方式，使用BK公司生产的4189- A- 021传声器、4517振动加速度传感器在Labshop和Dirac两个软件平台下六通道同时对钟体振动、钟腔固有频率、二层楼腔固有频率进行测量。在气球破裂激发时，激发点分别设在钟腔内和钟腔外，旨在激发钟腔或二层楼腔的空气振动，同时有效避免钟体同时振动，从而获取钟腔或楼腔的固有频率；在钟杵激发铜钟时，两个4517振动加速度传感器获取钟体的振动频率，4个4189- A- 021传声器捕获不同测点的钟声声学参数。

据钟楼结构特征及其周边声学环境(尽量避免旁边建筑物反射)，本文在钟楼北边145米处(点1)、钟楼西边145米处的铃铛胡同西口的旧鼓楼大街上(点2)各设一声音测点(图4)；在钟楼二层铜钟正下方(点3)、铜钟喇叭口内北侧(点4)和北、东拱券下(点5、点6)各设一声音测点(图5)。此外，在钟体上距离喇叭口0.94米和1.60米处设两个振动测点(点7、点8，以避开节点)。

图4 钟楼外部测量声压级设点图

图5 钟楼二层设点图

2.2 测量结果

受测量方式的影响，此部分将在钟楼外固定接收点测量声压级的结果、使用气球激发测量钟腔声学特性的结果、使用钟杵激发一次性测量钟体振动特性和钟声声学特性的结果分别陈述。

2.2.1 声压级测量结果

本文在点1、点2处使用NTI公司生产的XL2音频和声学分析仪测量，其结果取均值后见表2。

表2 声压级测量结果

表2中SPLmax [dBA]表示A计权的最大声压级，均值为点1和点2最大声压级的平均值。

在钟楼二层点5、点6测量钟声的声压级均值为123dB。

2.2.2 钟腔的固有频率测量

固有频率可测其FFT获得[*]傅里叶原理表明，任何连续测量的时域信号，均可以不同频率的正弦波的无限叠加来表示。钟杵撞击大铜钟振动，其信号长度近120秒，为典型的时域信号。常用的时域分析的方法易观察其时域特征，而忽略其频域特征。然铜钟振动特性分析，是既包含其时域特征也包含其频域特征的综合分析，因此需用贯穿时域与频域的快速傅里叶变换 (Fast Fourier Transform，即利用计算机计算离散傅里叶变换的高效、快速计算方法的统称，简称FFT)来分析。此分析钟声的方法，已被学界认同，参见文献[2]。。钟腔指铜钟本身的空腔(图3)。设BK公司生产的4189- A- 021传声器于钟腔正中距钟下木板2.072米处(即点3)，用破裂气球激励钟腔内的空气振动，BK公司的Labshop软件平台采集声音，采样率设为44100Hz，无计权。将测量结果导入PULSE Reflex 21.0.0软件，设频率带宽为500Hz，频率分辨率为0.15625Hz，记录时长为6.4秒，采用线性平均，窗函数为汉宁窗，重叠率为66.7%。钟腔测量结果见图6。

图6 钟腔FFT测量结果

图6中的X轴为频率(Hz)，Y轴为声压级(dB/20u Pa)，钟腔12、钟腔14和钟腔15分别指第12次、第14次和第15次测量钟腔固有频率的结果。图6所示可表征钟腔固有频率的峰值有22个，见表3。表中幅值指该固有频率(峰值频率)的振幅均值，单位为dB/20u Pa。

表3 钟腔主要峰值频率及其幅值

从表3可知，钟腔共有22个固有频率。

2.2.3 钟体和钟声的固有频率测量

钟体和钟声的固有频率同样可测其FFT获取。将4个4189- A- 021传声器分设于钟腔正中1.775米高处(即点3)、钟腔内南侧1.775米高处(即点4)、钟楼二层的北拱券下1.775米高处(即点5，距洞口栏杆2.679米，距券洞平水墙2.413米)和东拱券下1.775米高处(即点6，距洞口栏杆2.604米，距券洞平水墙2.351米)；再将两个4517振动加速度传感器用双面胶固定于钟体点7、点8[*]因仅测钟体的固有频率，故只设两点，避开峰值频率的节点位置。若测量钟体的模态，则需要布置大量的测点才能窥其全貌。；使钟杵撞击自由悬吊的钟体发声，用Labshop软件平台和DIRAC软件平台同时采集，设采样率为44100Hz，无计权。将测量结果导入软件PULSE Reflex 21.0.0分析，设频率带宽为500Hz，频率分辨率为0.15625Hz，窗函数为汉宁窗，平均次数为3次，重叠率为66.7%，得到钟体振动和钟声波动的系统对时间的FFT分析。比较后，将较为典型的钟体振动加速度测量结果和点4钟声测量结果进行系统对时间的FFT分析，见图7、图8。此处需要说明的是，从振动原理看，钟体的振动测量和钟声的FFT测量时需将其悬挂，悬挂点应选择其振幅最小处或低阶模态振型的节点。从铜钟悬挂的实际情况看，钟钮下与钟顶固定相连，上与木梁垂直自由相连。钟钮基本属于振幅最小处，且钟体在U形铸件与钟钮相连处可自由摆动，消耗撞击钟体的能量较低，故对钟体振动和钟声FFT测量结果的影响很小。

图7 钟体振动的FFT (自功率谱) vs. Time分析频率图

图8 测点4测量钟声的FFT (自功率谱) vs. Time 分析频率图

图7和图8中，X轴表示频率(Hz)，Y轴表示振幅(线性轴，图7表示振动加速度信号的大小，单位为m/s2；图8表示声音信号的大小，单位为Pa)，Z轴表示时间(s)。

综合FFT分析结果，发现400Hz内钟体振动共有32个峰值频率，他们分别是26.641Hz、26.875Hz、67.578 Hz、95.703 Hz、98.203 Hz、98.516 Hz、103.281 Hz等。[*]钟体振动和钟声的FFT分析结果中个别频率出现偏差，如钟体固有频率为67.578 Hz，钟声固有频率为67.656 Hz，再如143.438 Hz和143.828 Hz、250.469 Hz和250.547 Hz、255.391 Hz和255.781 Hz、256.25 Hz和256.172 Hz、315.391 Hz和315.078 Hz。此应为频率分辨率或仪器设置所致，对分析结果影响极小。表4记录了钟声前8个重要峰值频率的振幅及衰减时间。

表4 钟声各主要峰值频率振幅和衰减时间

据表4绘制的圆柱型青铜古钟频谱图，见图9。

图9 依据表4绘制圆柱型青铜古钟频谱图

2.3 测量结果分析

结合钟体振动、钟腔和钟声FFT系统分析的频谱图(图6、图7、图8)及表3、表4分析结果可知：

(1)北京钟楼铜钟的固有频率主要集中在400Hz以内，共有32个分频振动，能量主要集中在8个分频上。

(2)北京钟楼铜钟的最低固有频率26.641Hz(嗡声Hum)，比北京大钟寺永乐大钟[*]北京大钟寺永乐大钟的最低固有频率为16Hz。鉴于人耳的听阈为20Hz至20000Hz，不知16Hz的嗡声对人耳的意义何在？关于研究永乐大钟的最低固有频率的文献，参见文献[2]。高了10 Hz[2]。由此看来，嗡声频率的高低与钟的形状、结构与材料紧密相关。

(3)嗡声的衰减时间最长，本文所测其振动加速度信号达120秒左右。约30秒后钟声尚有9个分频振动，近50秒后嗡声、基音和标名音还在同时发声，钟声有5个分频振动，基音(Prime，67.578 Hz)可持续近57秒。

(4)与圆形钟的发声相比，圆柱形古钟嗡声的振幅较低，衰减时间较长，此为其最明显的特点。

(5)从听感的角度看，在敲击瞬间，人们最先听到的是该钟清晰的标名音(Nominal)，然后是各个分频的混合声。因标名音为基音的近似八度，第三分音易受标名音的掩蔽，由此标名音成为钟声的标志。最后，存留嗡声。嗡声衰减极缓，声振幅极低。古今中外的圆钟皆有此特点[9- 11]，本文考察的圆柱形古铜钟尤为如此。比较图7和图8可知，钟体振动在嗡声、基音和第三分音时声转化率低于标名音、第五分音、第六分音和第七分音，此与振动模态与阻尼特性相关。

(6)与戴念祖公布的圆形钟声频谱图[9]相比，标名音并非比基音高1200音分(图10)，而是高1343音分，超过了一个八度。[*]此相异之原因可能源于钟唇。欧洲圆钟钟唇呈郁金香形，口沿水平；北京钟楼圆柱形青铜钟唇呈八瓣莲花状，口沿起伏。也可能源于测量误差。此问题对目前分析结果影响较小，但有必要进一步研究。

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图10 西方圆钟声频率图(采自文献[9])

(7)当外界激励频率与系统或结构的固有频率相等或接近时，会产生共振。结合钟腔和钟体的固有频率可知，钟腔与钟体的3个固有频率可发生共振(表5)。换言之，钟腔除汇聚钟声所有分频的能量外，还能与第三分音、标名音和第八分音产生共振，但不能与频率更低的嗡声和基音发声共振。

表5 钟腔与钟体相近的固有频率

(8)从现场听感看，钟声有明显拍频，给人铿锵有力之感。

3 声学效应分析

天地“元音”，一则表示其响度极大，二则表示其频率极低，上文测量分析已可说明该问题，此处不赘。“都城内外十有余里，莫不耸听”是关于钟声传远性主观感受的表述，铿锵有力、浑厚绵长是关于钟声音质主观感受的表述。下文将基于钟体的振动特性、钟腔的频响特性和钟声的声学特性从传远性和音质两方面分析钟声的声学效应。

3.1 传远性分析

3.1.1 传送距离计算

在自由声场中，钟声能量的主要成分为直达声。将钟楼看作是自由声场的点声源，预测点距离每增加一倍，直达声的能量密度将耗损，声压级则衰减6dB，其公式(即噪声衰减公式)为：

LP2=LP1-20lg(r2/r1)

式中r1、r2为预测点距声源的距离，LP1、LP2为距声源r1、r2处的声压级dB(A)。若距离声源点145米的r1点的声压级取均值80.35dB，则距离声源点7.5公里(7500米)处的声压级为46.076dB。说明寂静的夜晚在7.5公里处钟声可闻。事实上，钟声的实际传播环境并非绝对的自由声场，还有来自地面的反射声，故声压级随距离降低小于6dB，更接近4dB。因此，户外声压级测量，距离计算法可修订为“每增加一倍距离，声压级降低4dB或5dB”。[12]根据距离钟楼145米时所测钟声的声压级，计算距离增加时其声压级的降低值，见表6。

表6 钟声传递距离和声压级的关系

从表6计算结果可知，如按照距离每增加一倍声压级衰减4dB计算，当钟声的声压级为52.35dB以上时[*]在商业办公室的声压级为70dB，人谈话时的声压级为60dB，在安静饭馆的声压级为50dB，在图书馆或客厅的声压级为40dB。参见文献[13],37页。此处还需说明的是：参照等响曲线，20Hz的纯音在低于75dB时人耳是不易听到的(钟声是复合音，其听阈下限应低于75dB)。此处计算因取A计权值，故可听下限值低至50dB。，理论上可在距离钟楼18.56公里(18 560米)处听到钟声；如按照距离每增加一倍声压级衰减5dB计算，当钟声的声压级为50.35dB以上时，理论上可在距离钟楼9.28公里(9 280米)处听到钟声。若有“莫不耸听”之效，其声压级需70dB以上，则在580米左右有此效果。换言之，本文实测钟声虽也可远传，但声效今不如昔。[*]需要说明的是，钟楼楼下的钟声响度虽与其传远性相关，但由于测点不在钟声传远路径上，故其声压级不能准确判断其传远距离。

3.1.2 影响传远性的因素

从钟声的声学特性看，影响其传远性的因素主要有两点，一是响度，二是频率结构。

(1)响度

钟声的响度与其传远性呈正相关，钟声响度越大，传得越远。反之，钟声响度越小，传得越近。影响钟声响度的因素主要有钟体振动、钟腔反射汇聚及共振。

首先，钟体振动强度与钟体材料的杨氏模量、钟体的形状、钟体的结构相关。永乐青铜古钟，含锡15.99%，其铜锡合金比例与《考工记》记载相符，使铜钟的杨氏模量符合钟杵撞击所要求的弹性强度，以彰显天地之“元音”。钟体厚度由唐代的等厚逐渐演变为明代的上薄下厚，北京钟楼铜钟钟肩略呈圆弧形，钟肩与钟顶连接部分最薄为120毫米，钟唇部分最厚为245毫米。这种结构可提高钟体振动幅度和相位的组合模式[*]此处主要指由于钟肩将钟顶与钟壁部分柔性连接，便于钟壁和钟唇振动。，从而提高响度，其做法同小提琴整块面板或背板与侧板相连处(嵌线附近)做薄的道理相同。需要说明的是，各固有频率的衰减时间是关于钟体动力特性的描述，反映的是钟体能量的耗散，直接表现为钟体在该频率阻尼因子的大小。

其二，从钟腔的声学特性看，主要表现在材料、形状和结构三个方面。从钟体的材料看，铜锡合金的反射系数很高，可很好地反射声波，从而降低声波在钟腔内的耗散，保持了钟声的响度。从钟腔的形状看，其弧形顶部不仅可将声波反射，还可将声波汇聚集中，从而汇聚了声能。其喇叭口是截面逐渐加大的管，实质上是可帮助提高钟声辐射率的声变压器([13]，39页)。从钟腔的结构看，钟腔可与钟体的这3个固有频率发生共振，积累声能，增大钟声的响度，同时也对钟声进行了声染色。不容忽视的是，钟体在嗡声、基音等较低频率的声能转化率较低，钟腔也不能与嗡声和基音产生共振，故嗡声和基音的振幅明显低于标名音。

(2)频率结构

低频的传远性强于高频。低频的波长较长，高频的波长较短。致使低频声波绕射能力较强，易绕过障碍物继续沿着原来的方向传播；高频声波绕射能力较弱，遇到障碍物易被反射回去而不能继续沿着原来的方向传播。同时高频在空气中易被空气分子吸收而能量衰减传远性降低，而低频易绕射降低空气分子吸收概率而降低能量衰减传远性增加。空气中的声衰减基本与频率平方成正比。20℃时不同湿度、不同频率的声波在空气中的声衰减见表7。由此可知，以低频为主的钟声利于传远。

据测量结果，在点4测量的钟声能量聚集的8个峰值频率(参见图8)中，20～100Hz以内的频率有3个，约占总振幅总量的24.79%[*]振幅百分比的计算方法为：该频段峰值频率的振幅总值与所有峰值频率的振幅总值的比值。此计算方法可大致反映钟声各频段能量的比值。；100～200Hz的频率有2个，约占振幅总量的50.89%；200～300Hz的频率有2个，约占振幅总量的18.23%；300～400Hz的频率有1个，约占振幅总量的6.09%(见表8)。综上所述，钟声频率结构以200Hz以下的频率为主，在传播过程中声衰减较低，利于钟声传播。在夜深人静时，恰似古人“洪钟发长夜”“余响绕千峰”的描述。

表7 20℃空气中的声衰减(dB/km)([13]，83～85页)

表8 各频段钟声主要峰值频率振幅的百分比

3.2 音质分析

3.2.1 浑厚绵长

“浑厚”说明其能量主要集中于低频，且响度较大；“绵长”说明其声音衰减慢，延时长。从前文的分析结果看，钟声能量主要集中在400Hz以内的8个频率，且200Hz以内的频率约占总能量的75.68%，钟楼二层券洞口最大声压级可达123dB，嗡声延时可达120秒以上。此为给人浑厚绵长之感的主要原因。

从钟腔的形状看，其柱形腔体的母线与轴线有较小夹角，影响了声波在腔内反射时间，其设计保证较长的钟声衰减时间的同时，也考虑了钟能量的向外辐射，此点与国外圆形钟区别较大。[14]从钟体的高度看，钟体的高度为5.55米，其声有较长衰减时间，印证了考工记中所载“钟大而短，则其声疾而短闻；钟小而长，则其声舒而远闻”。换言之，北京钟楼铜钟较长的钟体可使钟声绵长。[15]振动体的质量越高，固有频率越低[11]。约63吨的全球质量最大的铜钟，喇叭口厚度为0.245米，其钟体固有频率可低至26.641Hz。重约270kg的“桐鱼”钟杵，撞击喇叭口的八瓣莲花花瓣处，可充分激发铜钟的低频。

3.2.2 铿锵有力

铿锵有力是对钟声力量感的主观描述，除其响度和频率结构外[*]从响度的角度看，最大声压级可超120dB的钟声从音量上可以给人以崇高感，震撼人心。见叶朗《美学原理》，北京：北京大学出版社，2009年，第328～331页。从频率结构看，正如上文所述，可增强其厚重感。，还与其协和度和拍音(beating sound)相关。

(1)协和度

钟声峰值频率音高之间构成的协和音程的多少直接影响钟声的协和度，协和音程数量越多，则表示钟声越协和。反之，协和音程数量较少，则表示钟声协和度较低。现将钟声能量聚集的8个主要频率与乐音的关系一一列举，见表9。表中峰值频率指钟声的各固有频率(Hz)；与嗡声频率的比值(Ratio to lowest frequency)为其他峰值频率与嗡声频率之比；峰值频率音分值为钟声峰值频率所对应的音分值[16]；相近乐音标准频率(Hz)指距离钟声峰值频率最近乐音的频率，乐音频率参照国际标准音高a1为440Hz取值；乐音频率音分值指与钟声峰值频率最近的乐音频率的音分值；音高为乐音音名，音名后加减的值为音分值(即钟声峰值频率的音分值与相近乐音标准频率的音分值比较后的差值)。以序号1为例，钟声的峰值频率为26.641Hz，其音分值为845音分，距其最近的乐音#G2的频率为25.958Hz，钟声峰值频率比相近乐音的频率高0.683Hz，其音分值比相近乐音频率的音分值高45音分，其音高标记为#G2+45。

表9 钟体振动峰值频率与乐音关系分析表

将这8个峰值频率的音程关系进行分析(按照一个八度内计算，即single octave)，共有18个音程(复音程按照单音程计算，个别音程使用等音计算)，见表10。音程分为协和音程和不协和音程。协和音程包括：极完全协和音程纯一度、纯八度，完全协和音程纯四度、纯五度和不完全协和音程大小三六度。计算音程的协和度时，要求音分值的误差小于20音分。[*]关于音程计算的问题，若取频率差计算其主观音准则低音区误差较大，故取音分值。原因为：有的学者认为人耳对音准允许有5Hz～8Hz的误差，参见Jürgen Meyer. Acoustics and the Performance of Music(New York: Springer，2009.44)。按照标准音为440Hz计算，在高音区(包括小字三组、小字四组和小字五组)两个八度间A音的最小频率差为1760Hz，a距离#a的频率差为104.688Hz，误差5Hz约为5音分；在中音区(包括小字组、小字一组和小字二组)两个八度间A音的最小频率差为220Hz，a距离#a的频率差为13.086Hz，误差5Hz则可误差39音分左右，为1/3半音强；在低音区(包括大字组、大字一组和大字二组)两个八度间A音的最小频率差为27.5Hz，a距离#a的频率差为1.63575Hz，比A2(13.75Hz)高5Hz则比其高纯四度的D1(18.354Hz)还要高37音分。因大多音乐家对音准具有0～20音分的宽容度，所以在计算音程的协和度时，音分值的误差取值均小于20音分。参见韩宝强《音乐家的音准感——与律学有关的听觉心理研究》(《中国音乐学》，1992年第3期，第5～19页)。协和音程分析用以表征铜钟固有频率间的关系。

从表10可知，衰减时间最长的嗡声和基音为大三度，为不完全协和音程，对钟声的协和度影响最大。[17]纯八度音程1个，纯四度、纯五度音程3个，大、小三六度音程4个，大、小二七度音程6个，增四度、减五度音程1个。协和音程(共8个)占所有构成音程总数(共15个)的53.33%，不协和音程(共7个)占所有构成音程总数的46.67%。从协和音程与不协和音程所占比例可知铜钟音程协和比例略高于不协和音程，所以钟声好听，音质较好。

表10 钟声能量主要峰值频率的音程关系分析表1)

1) 铜钟为形状、结构较为复杂的振动体，其固有频率间的音程关系不同于理想振动体(弦线或管内空气柱)固有频率间的音程关系。理想振动体固有频率间呈整数倍关系，而不规则振动体的固有频率间的音程关系呈非整数倍关系。故铜钟分音与嗡声、基音间的协和度与理想振动体的协和度不同，参见表9中与嗡声频率的比值一栏可知。

从乐器的协和度看，声响和谐的管弦乐器，其分音多为谐音，分音频率为基音频率的整数倍，即为一定的音程关系。而力量感较强的打击乐器(属噪声乐器)，在峰值频率外的其他频率也有能量分布(即衰减时间较短的无规噪声)，其分音频率(即衰减时间较长的峰值频率)与基音频率的关系为非整数倍，多用于强化节奏。[18]由此可知，那些不呈音程关系的峰值和呈不协和的音程关系的峰值(6个大、小二七度音程和1个增四、减五度音程)应是加强北京钟楼钟声力量感的主要原因之一。

(2)拍音

当频率相近的两列声波同向传播时，听觉仅能感知到时远时近的一个声音，且其音量呈周期性的强弱变化，此即拍音。拍音每秒钟强弱变化的次数为两列声波的频率差，其振幅不定，或为原来的两倍，或为零，同时某一点的振幅也会随时间变化。振幅变化的周期即拍长，为频率差的倒数。拍长越大，频率差越小，当频率差为零时，就会发生共振。([13]，72～73页)换句话说，钟声中包含的周期性的强弱间隔是由频率差较小的峰值频率形成的[9]，其周期性的“余音绕梁”、“时远时近”感既强化了钟声的崇高感，也增加了钟声之“庄严”和“威力”。[19- 20]测量现场清晰可辨的时远时近的钟声，从钟声波形图也可证实，长约4秒(图11)。分析钟声的测量结果中的每一个峰值频率可知，北京钟楼的拍音主要由嗡声26.641Hz和26.875Hz两个频率相互作用产生，此拍音衰减时间最长，为93.1秒；其次为211.641Hz和212.266Hz两个频率产生的拍音，衰减时间为45.3秒。这两个拍音延时较长，强弱变化明显，为北京钟楼铜钟拍音的重要组成部分，成为钟声重要的声学特性。[21]钟声中形成频差的峰值频率见表11。表11中，频率差最大为2.5Hz，最小为0.234Hz，振幅变化的周期(拍长)最大为4.274秒(图12)，最小为0.4秒。

图11 钟声的波形图

表11 钟体振动中形成频差的峰值频率

续表11

图12 钟体振动中振动强度最大、拍长最长的拍频(4.274s)

4 结 论

北京钟楼的永乐大钟为典型的中国圆柱形青铜古钟。经测量和初步分析可知，该钟拍音明显，声能主要集中在400Hz以内的8个分频上，200Hz以内的频率约占总能量的75.68%，钟楼二层券洞口最大声压级可达123dB，嗡声频率可低至26.641Hz，嗡声延时可达120秒，具有重量重、体积大、拍音明显、频率低、响度大、衰减时间长、声能集中于低频、嗡声和基音的振幅小于标名音等特性，给都城内外民众以铿锵有力、浑厚绵长之感，可表天地“元音”，震撼人心。鉴于圆柱形钟钟声较为低沉、响度较大且延时较长，能传播得较远，故也被广泛用于庙宇的钟楼。

关于钟楼楼腔对钟楼声效应的影响，我们将模拟仿真其声学特性，做进一步的研究。

致谢真诚感谢BK声学公司沈良伟工程师、李昂工程师、王利博士和首都师范大学白欣教授、北京钟鼓楼文物保管所冯磊老师对本研究给予的大力支持!特别感谢中国科学院自然科学史研究所戴念祖研究员、重庆理工大学郭小渝副教授和东南大学吴宗汉教授在写作或声学技术、原理等环节的宝贵建议!真诚感谢李睿、高乐乐、裴家丽、翟迦勒同学在测量等环节的辛苦工作!本文初稿或部分内容曾于2017年5月12日在第19届全国物理学史年会、10月28日在第五届中国技术史论坛上报告，笔者真诚感谢中国科学院自然科学史研究所华觉明研究员和中国科学院大学王大明教授等与会专家富有启发性的意见!