有向加权供应链网络演化模型

胡跃群， 何红英， 郭进利， 张 宇

（1. 上海理工大学 管理学院，上海 200093；2. 西安市职工大学，西安 710068；3. 上海理工大学 理学院，上海 200093）

2000年飞利浦公司在新墨西哥州的芯片工厂因雷击起火，导致工艺污染，工厂陷入瘫痪，作为爱立信唯一的芯片供应商，这次事件使爱立信这个北欧最大移动电话制造商的地位不保，最终导致爱立信退出手机市场，与索尼成立合资公司，而如今索尼爱立信公司已不复存在。2002年9月美国西海岸发生工潮，港口关闭两周，作为中远集团进入美国的主要门户——美国西海岸，中远集团到达美国的集装箱船无法卸货返航，这使得中远集团两周内至少损失2 400万美元，同时中远集团的客户也因此损失惨重。2003年美国与加拿大西、北部的大面积停电事故直接影响了美国5千万人口的用电。类似情况数不胜数，供应链网络的安全运行越来越关乎到世界经济和环境的安全。

供应链的概念是从扩大的生产概念发展而来，现代管理教育对供应链的定义为“供应链是围绕核心企业，通过对商流、信息流、物流、资金流的控制，从采购原材料开始到制成中间产品及最终产品、最后由销售网络把产品送到消费者手中的一个由供应商、制造商、分销商、零售商，直到最终用户所连成的整体功能网链结构”[1]。为了缓和经济波动冲击、消费者的不确定性需求、不可预测的自然与人为灾害等供应链中断，许多学者提出各种各样的供应链管理策略和模型。目前对于供应链的研究大多基于系统动力学、经典运筹学的数学规划方法，建立的模型自上而下，对于供应链的研究过于局限，往往侧重于定性研究，在定量研究方面，对供应链网络的拓扑结构和内部演化规律等的研究则比较少[2-5]。

随着1998年Watts & Strogatz 提出小世界网络模型，Barabasi 和Albert提出了网络的无标度特性以及著名的BA模型，国际上掀起了利用复杂网络理论研究各类网络特性的热潮。Choi等[6]发表开创性文章，从复杂适应性系统角度研究供应链网络，探讨了将供应链网络视作复杂适应系统的必要性；Buldyrev等[7]以意大利地区的停电事故为例，研究了相互关联性供应网络灾难级联效应，从此引发了学者对相互关联性网络的各种研究；张纪会等[8]提出了适应性供应链的复杂网络模型初步框架；李广等[9]研究了供应链网络的无标度特性；Guo等[10]对无向网络提出节点到达过程服从更新过程的G增长模型，根据供应链网络的特点，引进了有向泊松模型[11]。然而，这些文献在建立模型时采用的是无权网络，忽视了权重在供应链网络中的重要性。Barrat等[12]提出BBV加权网络模型，将复杂网络的研究引入一个新阶段；于海生等[13]利用加权网络演化理论，提出了基于交易量的供应链网络演化模型；曹文彬等[14]将节点企业间的合作所带来的边效益引入复杂供应链网络的演化模型中，解释了供应链网络的经济现象；张勇等[15]利用复杂网络理论研究了装备保障网络，发现该网络表现出小世界特征与无标度的特性；柳虹等[16]对分层供应链复杂网络的局部演化进行了研究，层与层之间的企业节点连接体现了同行的竞争力。但是，这些研究均没有考虑供应链网络中物质流动的方向性，并且节点进入网络均是等时间间隔的，并不符合真实供应链网络的特性。

1 模型建立与解析

供应链是一种动态的、自适应性、自组织的复杂网络系统，链上每个企业构成复杂网络的一个节点，具有较小的平均路径长度和较高的集聚系数，符合复杂网络的小世界特征，平均路径长度表示产品的交付时间，集聚系数表示企业之间相互交流的程度。随着时间的更迭，供应链网络也不断在增长、演化。网络的演化过程是一个复杂的动态过程，不仅有新的企业加入，而且还有老企业的退出，有的企业则选择更换交易合作伙伴。一旦企业退出网络，那么，与该企业相连的节点企业之间的边就会发生断裂，如果企业更换交易伙伴，那么，网络中节点之间的边以及边的流量、权重就会发生相应变化。可见，在供应链网络的演化过程中，网络中的节点和边都是可以增加或者删除的，复杂网络中的BA模型是一种典型的基于点、边的网络演化模型，新加入的节点会引入新边连接到网络中已经存在的老节点。由于供应链网络是有向加权网络，而有向加权网络演化模型认为网络承载的业务与网络拓扑结构是一种共生演化关系，相互驱动，如BBV加权网络模型，通过将网络业务耦合入网络拓扑演化过程，不仅得到了网络的幂律分布，而且更加成功地刻画出真实技术网络的特性。经典的BA模型在研究实际网络的演化过程中考虑了两个重要的特性：a. 增长，网络的规模不断扩大，例如，每个月都会有大量的科研文章发表；b. 择优连接，新的节点更倾向于同那些具有较高连接度的节点相连，例如，新发表的文章更倾向于引用一些被广泛引用的重要文献等。加权网络通常用一个N阶方阵[]来表示节点 i 和之间连边的权重，其中，表示网络的规模，类似于世界航空网络中权重表示不同机场的航班飞机的可用座位数，科研合作网络中权重表示作者之间相互引用文章的数量，供应链网络权重可以表示节点企业之间交易量的大小等。

图 1 节点权重局部调整[12]Fig.1 Illustration of the strength construction rule[12]

为了更好地描述真实供应链网络的特性，本文在模型的建立过程中利用BA模型的线性择优连接机制，综合考虑网络中节点的权重与方向性，将方向性引入BBV加权网络，在网络模型中引入流量补偿机制，建立动态方程来研究供应链网络。

c. 择优连接。在供应链网络中，节点的强度代表了企业的交易量的大小，强度越大，说明节点在网络中的位置越重要，越容易吸引其他节点与之进行连接，也就更容易吸引其他企业与它进行合作。根据BBV加权网络的特性，新节点进入网络与老节点进行连接的概率取决于节点的强度，由于新节点的边连接到网络中具有方向性，所以，新节点连入网络的概率具有以下两种情况：

（a） 当选择网络中已存在的节点 i 为终点时，选择 i 的概率依赖于 i 的入强度。

（b） 当选择网络中已存在的节点 i 为起点时，选择 i 的概率依赖于 i 的出强度。

在每个时间步内，网络新加入1个节点，与老节点进行连接产生新的边，循环步骤b和c，当网络达到最大规模，也就是达到网络的最大容量时，节点停止增长，网络不再继续演化。

d. 权值动态演化。

网络在演化的过程中，节点新加入网络会引起节点 i 及相邻节点的边权值发生变化。每1条新边的初始权重为，更新规则如下：

1.1 节点强度分析

在模型的演化过程中，不允许出现节点的自连和重边，边的权重相应地增加。设每条边的初始权值为，为时刻 t 添加到网络的节点总数，为时刻 t 网络的节点总数，则有

在每个时间步，当网络中新增1条入∑边时，总入强度的增量为，所以，，且当 t 充分大时，网络的初始节点数与网络整体规模相比可以忽略不计，故

所以，

式中：L为哑变量；P为概率；s为节点或网络的强度。

可见供应链网络中存在“中枢”节点，即网络中某一节点企业的业务量非常大，随着时间的不断变化，该类节点的业务量也会越来越大，对应网络中的度也就更大，体现出无标度网络中“富者越富”的现象。所以，Poisson连续增长的供应链网络节点 i 的瞬态入强度分布为

所以，节点 i 的瞬态出强度分布为

1.2 网络强度分析

网络的稳态平均入强度

同理，可得网络的瞬态平均出强度分布

网络的稳态平均出强度分布为

综上分析可知，网络的稳态平均入强度分布与稳态平均出强度分布服从幂律分布，即幂律指数

2 数值模拟分析

针对上面的模型，为了检验数值分析的正确性，通过数值模拟来分析供应链网络的演化特性。取，，，，网络规模,分别对供应链网络节点强度随网络增长演化，网络节点的入强度、出强度，节点的入强度、出强度与权重的关系进行模拟仿真。

图2模拟了网络的节点强度随时间的演化过程，横坐标表示网络增长的时间，纵坐标表示节点的入强度、出强度。图2（a）表示了网络节点的入强度随着时间的演化过程，图2（b）表示网络节点的出强度随着时间的演化过程。从图中可以看出，节点的入强度和出强度随着网络的增长而逐渐增大，虽然从图像上来看，模拟演化过程中节点的入、出强度基本相同，但是，在数值上两者并不相同，模拟仿真说明了供应链网络随着时间的演化，核心节点企业的业务量会不断增多。

图 2 节点权重演化Fig.2 Time evolution of the strength of vertices

图3表示供应链网络的入强度、出强度分布图，横坐标表示权重，纵坐标表示节点恰好为对应权重的概率。图3（a）表示网络的入强度概率分布图，图3（b）表示网络的出强度概率分布图，从图中可以看出，供应链网络在演化的过程中符合幂率特性，是一种典型的无标度网络，模拟结果与拟合直线吻合得较好[17-18]。

图 3 网络的入强度、出强度与权重相关图Fig.3 In-strength and out-strength probability distributions of the network

图4表示节点的入度和出度与节点权重在演化过程中的关系，横坐标表示节点的度，纵坐标表示节点的权重。图中，大量度比较低的节点聚集在一起，对应的权重也比较低，只有少量度比较高的节点对应着较高的权重。节点的权重越高，意味着交易量越大，交易量越大的企业在网络中的地位越重要，而这样的企业在供应链网络中也只是占少数，仿真结果与实际情况一致。

数值仿真结果说明，供应链网络中存在着业务量非常大、对应整个网络非常重要的“中枢”节点，符合“富者越富”的特性，与理论分析相一致。

图 4 度-权重相关图Fig.4 Degree-strength distribution of the network

3 结束语

针对供应链网络的实际特点，建立了有向加权供应链网络模型。在模型中，利用泊松理论考虑了节点进入网络的情况，将权重和方向性引入网络中，比较真实地刻画了供应链网络的演化情况。研究表明，供应链网络的稳态平均入强度分布和稳态平均出强度分布服从幂律指数在1～3之间的幂律分布，仿真结果与理论分析吻合得较好。本文建立模型的过程并未考虑网络中节点企业因为资金断裂、破产、竞争等一系列原因而退出网络的情况，而节点又以何种方式退出网络，这将是下一步研究的重点。