广义平均距离公式在结构优化中的应用研究

崔争争，杨晓翔

（福州大学 机械工程及自动化学院，福建 福州 350000）

1 引言

结构优化的几种类型中，拓扑优化能对材料做出删减，保留必要的材料剩下的即为最佳传力路径[1]。因为在概念设计初期阶段中，找出合理的材料布局是非常重要的，因此拓扑优化也是最具有挑战性的一个研究方向[2]。

现在对结构拓扑优化大多数集中在单目标的拓扑优化问题上，然而在实际工程中大多数是多目标优化问题[3-4]，比如最常见的需满足多工况结构刚度最大和动态特性的前几阶模态频率最大等，因此建立单目标模型就无法满足实际工程需要了。在多目标优化问题中，一方面很多人根据多年的经验然后对结构做出改进，这样一来势必会有一定的不科学性和较大误差的出现；另一方面就是用数学规划法对多个目标进行适当加权从而将多目标优化问题转化为单目标优化问题，以此建立起数学模型进行求解。文献[5]采用折衷规划法将动态特性的模态频率和静态特性的刚度结合起来建立数学模型应用在汽车车架上，最后既提高了动态特性的前几阶模态频率，也提高了结构刚度；文献[6]也将应变能最小和动态频率最大为目标建立数学模型应用在龙门导轨磨床立柱的优化上，同样得到了理想结果；文献[7]以静态刚度和振动频率为目标对装载机机罩进行了多目标结构优化，最后既提高了结构的动、静特性，又减轻了结构的重量。以上都是应用多目标模型解决实际的范例。然而，在结构优化中由于静态特性的结构柔度和动态特性的模态频率的数值不是一个数量级的[8]，在hyperworks中optistruct模块对结构做优化时，是利用加权然后再使用一个标准化系数的方法。将广义平均距离公式应用在多目标函数的构建上，构建出不同形式的刚度优化数学模型和动态频率的拓扑优化数学模型，最后综合出多种形式的综合目标函数，为构建多目标优化设计问题提供了思路。

2 广义平均距离公式

（1）由于结构的固有频率在结构优化过程中会出现振荡交替现象：当第一阶固有频率提高时，而其他阶频率反而出现下降现象，因此文献[9]提出了平均特征值公式很好地应用在结构优化中，根据其平均特征值公式的思想概括出下面的广义平均距离公式的方法：

式中：a和α—调整参数，根据目标函数的意义适当设定；xni（i=1，2，…，n）—各个单目标函数值；x0i（i=1，2，…，n）—给定的参数值；wi（i=1，2，…，n）—各个目标函数所占的权重，根据实际情况人为设定；p—欧式度量，用来度量xni与x0i之间的距离。

（2）对广义平均距离公式中p的不同取值进行简单讨论。

当p为正数时，全部假设a=0，α=1，然后讨论其他参数：

①当x0i≠0，p为奇数时，比如p=1，即变为：

此式意义在于所有xni与x0i的相对加权距离之和，也即Manhattan距离。

②当x0i≠0，p为偶数时，比如p=2，即变为：

函数的意义为xni与x0i之间的加权几何距离，也即Euclidean距离。

③当x0i=0，p为奇数，特别地p=1时即变为：

此式即为常见的线性加权法，意义即为xni与0之间的线性加权距离之和。

当p为负数时：

①当p为负奇数时，比如p=-1，即变为：

此式即为平均频率特征值公式，使y最大就是使xni远离x0i，使y最小就是使xni靠近x0i。

②当p为负偶数时，比如p=-2，即变为：

此函数使y最大就是使xni远离x0i，使y最小就是使xni靠近x0i。

当p为负数是，无论为负奇数还是负偶数，理论上意义相同，单特别地当p为-1时即为平均频率公式的由来，还有就是当p为负偶数或者负奇数时使得在构成目标函数的形式上不同。

3 理论应用

对于多目标优化问题，即可应用上面理论，然后将动态特性的模态频率与静态特性的柔度结合起来建立数学模型。

3.1 多工况刚度优化数学模型

通常把刚度最大问题转化为柔度最小问题来研究。在多工况情况下，以柔度最小为目标，不同的工况对应着不同的最优优化结构。结合平均距离公式，以多工况下柔度最小的结构优化数学模型为：

式中：C（ρ）—平均柔度；C0、α—调整参数；wi—各工况的权重值；m—工况总数；Ci（ρ）—各工况下的柔度目标函数；Ci—给定数值；p—惩罚因子，p≥2；V—优化后的体积；Δ—体积分数；V0—优化前体积；C—结构柔度；U—位移向量；K—结构总刚度矩阵。

为了使结构柔度越来越小，根据p的取值不同来建立数学模型，假设C0=0，α=1，并令p=2，p=-1为例，可建立以下四种柔度最小的目标函数：

3.2 动态频率拓扑优化数学模型

在动态频率拓扑优化中，经常会出现一个现象：使前几阶模态频率提高时，其他阶模态频率就会下降，即出现交替互换现象，为避免此种现象，结合平均距离公式可得到动态频率优化数学模型：

式中：f（ρ）—平均频率；f1、α—调整参数；m—优化固有频率阶数；fi（ρ）—各阶固有频率目标函数；fi—给定值；M—总质量矩阵；—第j阶特征值对应的特征向量。

为了使各阶模态频率越来越大，同样根据p的取值不同来建立其不同的数学模型，假设f1=0，α=1，并令p=2，p=-1为例，可建立以下四种模态频率越来越大的目标函数：

3.3 同时考虑刚度和频率要求的多目标拓扑优化目标函数

因为柔度和频率相互制约，其数值也不是一个数量级，为了统一数量级采用以下方法将两目标函数结合起来得到综合目标函数：

结合以上平均柔度、平均频率的目标函数，各四种形式，可得到16种综合目标函数，这里列出其中四种形式：

目标函数一：

目标函数三：

4 实例验证

以一个汽车悬挂系统的摆臂结构为研究对象，以有限元软件hyperworks为分析平台进行结构优化，在拓扑优化中，optistruct以SIMP方法引入一种假想的相对密度在（0～1）之间可变的材料，人为假定相对密度和材料弹性模型之间具有特定关系[10]，在给定的材料和约束条件下寻找最佳力传递路径，最终得到最优结构。

建立摆臂的有限元模型，如图1所示。设计区域已在图中标出；材料弹性模型为160GPa，泊松比为0.25，密度为7.1kg/m3，体积分数约束上限为40%；分为制动和转弯两个工况，两种工况情况下受力情况，如表1所示。

表1 工况与受力情况Tab.1 Working Conditions and Stress Conditions

图1 摆臂有限元模型Fig.1 Finite Element Model of Swing Arm

利用上述列出的四种目标函数对结构进行拓扑优化。其中选取两个工况的权重值都一样，以及优化的前两阶模态频率的权重值分别为0.6、0.4。

4.1 优化过程

表2 单工况情况下柔度优化结果（N·mm）Tab.2 The Flexibility of Single Condition Optimization（N·mm）

表3 单阶固有频率优化结果（Hz）Tab.3 Single Order Natural Frequency Optimization（Hz）

再以平均柔度和平均频率最优求出Cmax、Cmin、fmax、fmin结果，如表4所示。

表4 以平均柔度和平均频率最优优化结果Tab.4 The Average Compliance and Average Frequency Optimal Results

4.2 优化结果

对应目标函数一、目标函数二、目标函数三、目标函数四的最后优化的拓扑结构，如图2（a）～图2（d）所示。四种目标函数的组合应变能随迭代次数的变化曲线，如图3所示。四种目标函数最后优化的模态频率随迭代次数的变化曲线，如图4（a）～图4（d）所示。最后的优化结果模态频率和优化前后各工况柔度对比，如表5、表6所示。

图2 优化结果Fig.2 The Optimization Results

图3 各目标函数组合应变能指标函数迭代历程Fig.3 The Iterative Process of the Objective Function Combined Strain Energy Index Function

图4 优化参数随迭代次数的变化曲线Fig.4 The Curve of the Optimization Parameters with the Number of Iterations

表5 优化后各阶固有频率（Hz）结果对比及增长百分比Tab.5 Comparison of the Natural Frequency Results After Optimization and Growth Percentage

表中：百分比=（优化后值-优化前值）/优化前 值×100%

表6 优化前后各工况柔度结果对比（N·mm）Tab.6 The Operating Flexibility Results Compared Before and After Optimization

从图3的组合应变能迭代历程来看，因为构造的的目标函数形式不同，迭代次数也不相同，但最后的柔度值都趋于平稳，都趋近于0，迭代过程中也实现了各工况柔度值的最小化和各阶固有频率的最大化，最后实现了多工况柔度最小化和多阶固有频率最大化的多目标问题。

从表5和表6的数值结果来看，列出的四种数学目标函数模型无论从模态频率结果上还是从各最后的柔度数值上看都是大致雷同；优化后各阶频率都得到了相应的提高，各工况柔度值也得到了较小。从以上分析看出广义平均距离公式思想在构建多目标结构优化的优化问题上的可行性，也体现出了它的灵活多变性。

5 结论

（1）利用平均距离公式理论，对其中的参数赋予不同的数值，分别构造出4中静态特性的目标函数和动态特性的目标函数，基于各目标函数建立起最终的综合目标函数。（2）以摆臂为例，对所构建的多种综合目标函数调出4中进行验证，在结果上做了简单分析。（3）从模拟数据分析看出最后都很好地得到了柔度值最小化和固有频率最大化的目的，并且在数值上大致相同，验证了广义平均距离公式理论在构建多目标优化问题上的可行性和灵活性，对实际工程的优化问题具有一定的指导意义。