浅论近三年高考题中关于向量在平面几何中的应用

汤小燕 左尚昆

摘 要：通过对近三年全国及部分省份高考数学试题的讨论，总结了有关向量在平面几何中的命题特点和解题方法，对学生学习平面向量有重要意义.

关键词：高考；向量；思想方法

一、 引言

向量是代数与几何的桥梁，如果能够掌握好向量的相关知识，有意识地运用向量工具去解决相关问题，不但能够优化解题思路，而且还能培养学生思维能力的发散性和创造性。所以本文就是以向量的基本知识为理论基础，向量的运算为工具，向量应用的目的为主线，以近三年全国高考试题为例题，通过对其各地区相关高考试题的分析和研究，进一步去了解高考试题中向量在平面几何中题型、分值、分值比例以及所考查的知识要点，对相关题型的思想方法的分析，来进一步讨论近三年向量在平面几何中的应用。

下面就是对近三年全国各地区相关高考试题的分析及高考例题进行分析解答和总结：2015年，重庆卷（理科），四川卷（理科），陕西卷（理科），全国新课标卷2（文科），天津卷（理科）；2016年，全国新课标卷3（文科），山东卷（理科），江苏卷（理科），四川卷（理科），浙江卷（理科），山东卷（文科），全国新课标卷2（文科）；2017年，全国新课标卷3（文科），全国新课标卷1（理科），山东卷（理科），天津卷（理科），全国新课标卷2（理科）。

其中的分值比例约占3.3%，向量的平面几何问题在近三年全国各地的高考试卷中均有涉及，命题的主要形式是以选择题和填空题为主，解答题占少数。虽然说平面向量很少会以大题的形式出现，但是出现大题也不是没有可能。从以上的分析可以看出，高考中对平面向量的考查是多方面的，通常会综合许多知识点来考，比如模长夹角和数量积结合考，线性运算和数量积结合考等等，考查内容较广，在教学过程中应注重培养学生的逻辑思维能力和观察能力。

二、 坐标运算问题在平面几何中的应用

向量的坐标运算是一个对应关系，即横坐标对横坐标，纵坐标对纵坐标，属于概念型题，如2016年全国卷1理13。

三、 向量的线性运算在平面几何中的应用

向量的线性运算是向量的基础部分，包括了向量的加减运算与数乘运算，高考试题中常出现的合成向量就是通过向量的线性运算来完成的，这里要注意的是数量积并不是线性运算，不要弄混淆了。

（一） 向量的加减运算问题。向量的加减运算是线性运算中较为普遍的一种，包含了向量的加法运算和减法运算，是用代数方法进行几何运算的一种运算，与实数加减运算不一样，向量的加减运算遵循三角形法则和平行四边形法则。如2015年全国卷1理7。

（二） 向量的数乘问题。数乘运算又称向量的乘法，是指一个实数与一个向量的乘积，即数量与向量的乘法运算，运算的结果仍为向量，对求未知参数具有重要指导作用。如2017年天津卷理13。

四、 向量的模在平面几何中的应用

向量的长度或者大小称为向量的模，只有大小，没有方向，是一个实数，一般情况下通过余弦定理或者数量积的性质来计算處理的。如2017年全国卷1理13。

五、 向量的夹角在平面几何中的应用

两个非零向量所成的角叫两向量的夹角，这里要注意的是以平移两个向量至同一个起点，向量的夹角问题通常需要利用余弦公式cosA=|b|2+|c|2-|a|22|b||c|或公式cosθa·b|a||b|来处理。

（一） 向量的共线问题。当两个非零向量同向或反向时，称两向量共线，也就是平行，此时它们的夹角θ=0°或180°，cosθ=1或-1。如2015年全国卷2理13。

（二） 向量的垂直问题。向量的垂直问题是指两个非零向量的夹角为90°的这种特殊情形，此时夹角的余弦cosθ=0，即a·b。如2016年山东卷文13。

（三） 向量夹角的一般形式问题。当两个非零向量既不共线又不垂直时，称它们的夹角为一般形式，表示出来就是cosθ=a·b|a||b|，θ即是两个向量的夹角。如2016年全国卷3文3。

六、 向量的数量积在平面几何中的应用

数量积是指向量的内积a·b，而不是外积a×b，数量积a·b是一个数量，即a的模|a|与b在a上的投影|b|cosθ的乘积|a||b|cosθ，数量积的求解方法有多种，最为简便直观的就是通过观察向量结构，用有关向量线性表示转化求解。如2015年四川卷理7。

七、 总结

向量作为一种重要的数学解题工具，在近三年高考里面考查较为广泛，它的应用为平面几何问题的解决提供了新的思维方法，更进一步扩展了思维渠道，利用向量的运算性质能把许多关于平面几何问题的研究从定性转向定量，使论证变得简单，对平面几何问题的探讨具有指导性作用。向量解题的思想方法不但活化了解题技巧，而且简化了思维过程，显得十分新颖和别致，所以利用向量知识解题具有很多的优越性，其中思路直观、运算简便是最突出的优势。向量把数与形有机地结合起来，实现了数形结合的数学思想，对于中学数学的研究具有重要的意义，它进一步发展和完善中学数学的知识体系，使学生对中学数学的认识有一个质的飞跃，有利于学生思维的发展，对于学生培养正确的数学观具有重要意义。

参考文献：

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[4]刘八芝.向量在中学数学教学中的应用[N]，镇江高专学报，2003.

[5]张凤莲.高中数学中向量的研究[D].华中师范大学，2007.

作者简介：

汤小燕，左尚昆，贵州省遵义市，遵义师范学院。