正项级数敛散性判别法的研究

摘 要：级数是研究函数的重要工具，正项级数是级数的重要组成部分。正项级数的敛散性判别对于级数的研究是至关重要的。本文在已有结论的基础之上结合一些例题归纳总结了正项级数敛散性判别的几种基本方法和判别技巧。

关键词：级数；正项级数；敛散性；判别法；技巧

一、 引言

作为数学分析中一个非常重要的理论，级数是表示函数，研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。在各种级数中，正项级数是最基本的，也是十分重要的一种级数。研究正项级数的主要问题是判别正项级数的敛散性。为此，本文归纳总结了正项级数敛散性的一些判别法，希望对数学分析的学习有一定的促进作用。

二、 几种基本判别法

（一） 定义判别法

定义1：正项级数∑∞n=1un的前n项和的极限值存在，则级数收敛。

（二） 定理判别法

定理1：级数收敛的必要条件：若级数∑∞n=1an收敛，则limn→∞an=0，反之不成立。

定理1的逆否命题：若limn→∞an≠0，则级数∑∞n=1an发散。

（三） 比较判别法

定理2：设∑un与∑vn是两个正项级数，若N*对n>N，有un≤vn，

则：（1） 若级数∑vn收敛，则级数∑un也收敛；

（2） 若级数∑vn发散，则级数∑un也发散。

推论：设∑∞n=1un和∑∞n=1vn都是正项级数，若limn→∞unvn=l，

则：（1） 当0

（2） 当l=0时，且级数∑∞n=1vn收敛时，级数∑∞n=1un也收敛；

（3） 当l=+∞时，且级数∑∞n=1vn收敛时，级数∑∞n=1un也发散。

（四） 比式判别法

定理3：设∑un为正项级数，有某正数N0及常数q（0

（1） 若对一切n>N0，成立不等式un+1un≤q，則级数∑un收敛；

（2） 若对一切n>N0，成立不等式un+1un≥1，则级数∑un发散。

推论1：若∑un为正项级数，且limn→∞un+1un=q，

则：（1） 当q<1时，级数∑un收敛；（2） 当q>1或q=+∞时，级数∑un发散。

推论2：设∑un为正项级数，且limn→∞nun=l，

则：（1） 当l<1时，级数∑un收敛；（2） 当l>1时，级数∑un发散。

（五） 根式判别法

定理4：设∑un为正项级数，有某正数N0及常数l，

（1） 若对一切n>N0，成立不等式nun≤l<1，则级数∑un收敛；

（2） 若对一切n>N0，成立不等式nun≥1，则级数∑un发散。

推论1：设∑un为正项级数，limnun=l，

则：（1） 当l<1时，级数∑un收敛；

（2） 当l>1时，级数∑un发散；

（3） 当l=1，级数∑un的收敛性不定。

推论2：设∑un为正项级数，

（1） 若limn→∞un+1un=q<1，则级数收敛；

（2） 若limn→∞un+1un=q>1，则级数发散。

（六） 高斯判别法

定理5：设an+1an=1-pn+θnn1-μθn，有界μ>0，则当p>0时，∑∞n=1an收敛；当p≤1时，∑∞n=1an发散。

（七） 拉贝判别法

定理6：设∑an为正项级数，且存在某正整数N0，常数r，

（1） 若对一切n>N0成立不等式n1-an+1an≥r>1，则级数∑an收敛。

（2） 若对一切n>N0成立不等式n1-an+1an≤1，则级数∑an发散。

推论：设∑an是正项级数，且极限limn→∞n1-an+1an=r存在，则：（1） 当r>1时，级数∑an收敛；（2）当r<1时，级数∑an发散。

三、 正项级数敛散性的判别技巧

（一） 用等价无穷小量代换

例1 判别级数∑∞n=1n1n2+1-1的敛散性。

解：此为正项级数，由于n→∞时，n1n2+1-1=elnnn2+1-1～lnnn2+1<1n32。

而∑∞n=11n32收敛，所以∑∞n=1n1n2+1-1收敛。

（二） 利用泰勒公式

例2 判别级数∑∞n=2（-1）n[n+（-1）n]p（p>0）的敛散性

解：由泰勒公式（1+x）α=1+αx+o（x）知

（-1）n[n+（-1）n]p=（-1）nnp1+（-1）nn-p=（-1）nnp1-p（-1）nnp+o1n

=（-1）nnp-pnp+1+o1np+1

而∑∞n=2（-1）nnp当01时绝对收敛；

∑∞n=2pnp+1与∑∞n=21np+1当p>0时绝对收敛。

所以，当00）条件收敛；当p>1时，绝对收敛。

（三） 利用洛必达法则

例3 判别级数∑∞n=11-lnnnn的敛散性

解：un=1-lnnnn=enln1-lnnn，

limn→∞un1n=limn→∞nun=limn→∞elnn+nln1-lnnn，

令x=1n，则lnn+nln1-lnnn=-lnx+1xln（1+xlnx），由洛必达法则得

limx→0-xlnx+ln（1+xlnx）x=0，故limn→∞un1n=1。

由∑∞n=11n发散知，∑∞n=1un发散。

四、 总结

要想用最简便的方法解决正项级数敛散性判别问题，需要了解和掌握对其中常见的判别法，做到灵活运用。总之，在对其敛散性进行判别时要从正项级数和判别法的特点出发，选择最恰当的方法对其进行判别。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析.下册.第3版[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]汪皎月.正项级数敛散性判别法的推广及应用[N].贵州师范学院学报，2015，31（3）：6-9.

[3]杨钟玄.对正项级数敛散性判别法的关系的一些探讨[N].新疆大学学报（自然科学版），2002，19（3）：266-271.

作者简介：

姜畔，吉林省长春市，吉林师范大学。